理性看待双色球：一等奖中奖概率仅为0.00000564299%

理性看待双色球：一等奖中奖概率仅为0.00000564299%

双色球作为中国福利彩票的一种，因其高额奖金吸引了众多购彩者的目光。然而，中奖真的只是靠运气吗？让我们一起揭开双色球中奖概率背后的数学奥秘。

双色球的中奖概率主要取决于红球和蓝球的数量以及具体的中奖条件。根据双色球的规则，红球号码范围为1-33，蓝球号码范围为1-16。投注者需从红球中选取6个号码，并从蓝球中选取1个号码，与官方公布的开奖号码完全一致才能中得头奖。

要计算双色球的中奖概率，首先需要确定所有可能的组合方式。双色球的总组合数可以通过计算红球和蓝球的组合数相乘得到。对于红球，从33个号码中选取6个的组合数为C(6,33)，蓝球从16个号码中选取1个的组合数为C(1,16)。因此，双色球的总组合数S(总) = C(6,33)C(1,16) = 110756816 = 17721088。

接下来，我们需要计算一等奖的中奖概率。一等奖的中奖条件是投注的6个红球号码与开奖的6个红球号码完全一致，且蓝球号码也与开奖的蓝球号码完全一致。因此，一等奖的所有可能组合数S(1) = C(6,6)C(1,1) = 11 = 1。

最后，我们将所有可能的组合数S(总)与一等奖的所有可能组合数S(1)相除，即可得到一等奖的中奖概率P(1)。P(1) = S(1) / S(总) = 1 / 17721088 = 0.00000564299%。

为了更好地理解双色球中奖概率的计算，我们先来了解一下组合数学中的基本概念。

排列组合是组合数学中的基础。排列就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序；组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。排列组合的中心问题是研究给定要求的排列和组合可能出现的情况总数。排列组合与古典概率论关系密切。

在高中初等数学中，排列组合多是利用列表、枚举等方法解题。

加法 & 乘法原理

• 加法原理：完成一个工程可以有类办法，代表第类方法的数目。那么完成这件事共有种不同的方法。
• 乘法原理：完成一个工程需要分个步骤，代表第个步骤的不同方法数目。那么完成这件事共有种不同的方法。

排列与组合基础

• 排列数：从个不同元素中，任取（，与均为自然数，下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列；从个不同元素中取出() 个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号（或者是）表示。

排列的计算公式如下：

代表的阶乘，即。

公式可以这样理解：个人选个来排队 ()。第一个位置可以选个，第二位置可以选个，以此类推，第个（最后一个）可以选个，得：

全排列：个人全部来排队，队长为。第一个位置可以选个，第二位置可以选个，以此类推得：

全排列是排列数的一个特殊情况。

• 组合数：从个不同元素中，任取个元素组成一个集合，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合；从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号来表示，读作「选」。

组合数计算公式

如何理解上述公式？我们考虑个人选个出来（），不排队，不在乎顺序。如果在乎顺序那么就是，如果不在乎那么就要除掉重复，那么重复了多少？同样选出来的个人，他们还要「全排」得，所以得：

组合数也常用表示，即。现在数学界普遍采用的记号而非。组合数也被称为「二项式系数」，下文二项式定理将会阐述其中的联系。

特别地，规定当时，。

插板法

插板法（Stars and bars）是用于求一类给相同元素分组的方案数的一种技巧，也可以用于求一类线性不定方程的解的组数。

• 正整数和的数目：现有个完全相同的元素，要求将其分为组，保证每组至少有一个元素，一共有多少种分法？考虑拿块板子插入到个元素两两形成的个空里面。因为元素是完全相同的，所以答案就是。本质是求的正整数解的组数。

• 非负整数和的数目：如果问题变化一下，每组允许为空呢？显然此时没法直接插板了，因为有可能出现很多块板子插到一个空里面的情况，非常不好计算。我们考虑创造条件转化成有限制的问题一，先借个元素过来，在这个元素形成的个空里面插板，答案为。虽然不是直接求的原问题，但这个式子就是原问题的答案，可以这么理解：开头我们借来了个元素，用于保证每组至少有一个元素，插完板之后再把这个借来的元素从组里面拿走。因为元素是相同的，所以转化过的情况和转化前的情况可以一一对应，答案也就是相等的。由此可以推导出插板法的公式：。本质是求的非负整数解的组数（即要求）。

• 不同下界整数和的数目：如果再扩展一步，要求对于第组，至少要分到个元素呢？本质是求的解的数目，其中。类比无限制的情况，我们借个元素过来，保证第组至少能分到个。也就是令得到新方程：其中然后问题三就转化成了问题二，直接用插板法公式得到答案为

• 不相邻的排列：这个自然数中选个，这个数中任何两个数都不相邻的组合有种。

二项式定理

在进入排列组合进阶篇之前，我们先介绍一个与组合数密切相关的定理——二项式定理。二项式定理阐明了一个展开式的系数：

证明可以采用数学归纳法，利用做归纳。二项式定理也可以很容易扩展为多项式的形式：设为正整数，为实数，其中的是多项式系数，它的性质也很相似：

排列与组合进阶篇

接下来我们介绍一些排列组合的变种。

• 多重集的排列数 | 多重组合数：请大家一定要区分多重组合数与多重集的组合数！两者是完全不同的概念！多重集是指包含重复元素的广义集合。设表示由个，个，…，个组成的多重集，的全排列个数为相当于把相同元素的排列数除掉了。具体地，你可以认为你有种不一样的球，每种球的个数分别是，且。这个球的全排列数就是多重集的排列数。多重集的排列数常被称作多重组合数。我们可以用多重组合数的符号表示上式：可以看出，等价于，只不过后者较为繁琐，因而不采用。

• 多重集的组合数 1：设表示由个，个，…，个组成的多重集。那么对于整数，从中选择个元素组成一个多重集的方案数就是多重集的组合数。这个问题等价于的非负整数解的数目，可以用插板法解决，答案为

• 多重集的组合数 2：考虑这个问题：设表示由个，个，…，个组成的多重集。那么对于正整数，从中选择个元素组成一个多重集的方案数。这样就限制了每种元素的取的个数。同样的，我们可以把这个问题转化为带限制的线性方程求解：于是很自然地想到了容斥原理。容斥的模型如下：1. 全集：的非负整数解。2. 属性：。于是设满足属性的集合是，表示不满足属性的集合，即满足的集合（转化为上面插板法的问题三）。那么答案即为根据容斥原理，有：拿全集减去上式，得到多重集的组合数其中 A 是充当枚举子集的作用，满足。

• 圆排列：个人全部来围成一圈，所有的排列数记为。考虑其中已经排好的一圈，从不同位置断开，又变成不同的队列。 所以有由此可知部分圆排列的公式：

组合数性质 | 二项式推论

由于组合数在 OI 中十分重要，因此在此介绍一些组合数的性质。

• 相当于将选出的集合对全集取补集，故数值不变。（对称性）
• 由定义导出的递推式。
• 组合数的递推式（杨辉三角的公式表达）。我们可以利用这个式子，在的复杂度下推导组合数。
• 这是二项式定理的特殊情况。取就得到上式。
• 二项式定理的另一种特殊情况，可取。式子的特殊情况是取时答案为。
• 拆组合数的式子，在处理某些数据结构题时会用到。
• 这是的特殊情况，取即可。
• 带权和的一个式子，通过对对应的多项式函数求导可以得证。
• 与上式类似，可以通过对多项式函数求导证明。
• 通过组合分析一一考虑的子集数可以得证，在恒等式证明中比较常用。
• 通过定义可以证明。
• 其中是斐波那契数列。

二项式反演

记表示恰好使用个不同元素形成特定结构的方案数，表示从个不同元素中选出个元素形成特定结构的总方案数。若已知求，那么显然有

现在你不断扔一个等概率的六面骰子，直到扔出(6)停止。求在骰子只出现过偶数的条件下扔骰子次数的期望。

既然每一次都只能是偶数，也就是只能出现({2,4,6})，且出现(6)就停，那么答案就是(3)？但是答案不是(3)。答案是(\frac{3}{2})。

问题的关键在于要意识到，扔出奇数后相当于实验马上失败了，而不是这次扔出的奇数无效，重新扔。

这个问题等价于：假设你不断扔一个等概率的六面骰子，直到扔出(1, 3, 5, 6)停止。求最后一次扔出(6)的条件下扔骰子次数的期望。

通过以上计算，我们可以得出双色球一等奖的中奖概率为0.00000564299%，这意味着投注者每购买约48550次彩票才可能中得一次头奖。这个概率非常低，但并非零。因此，彩民们在购买彩票时应当保持理性，将其作为一种娱乐方式而非赚钱的手段。

除了计算一等奖的概率，我们还可以通过类似的方法计算二至六等奖的中奖概率。二等奖的中奖条件是投注的6个红球号码与开奖的6个红球号码完全一致，但蓝球号码不需一致。因此，二等奖的中奖概率为1 / 1181406。同理，我们可以依次计算出三等奖至六等奖的中奖概率。

综上所述，通过掌握双色球的规则和中奖条件，运用概率计算公式进行详细的分析和计算，我们可以了解双色球的中奖概率。在购买彩票时，我们应当保持理性态度，将其作为一种娱乐方式而非赚钱的手段。在享受投注乐趣的同时，切勿盲目追求中奖而过度投入。记住，彩票应当是一种理性的娱乐方式，而不是改变命运的捷径。