高考数学题揭秘：等差数列的应用实例

创作时间:

2025-01-22 04:00:06

作者:

@小白创作中心

高考数学题揭秘：等差数列的应用实例

等差数列作为高中数学的重要知识点，经常出现在各类考试题目中。本文将通过一个典型的高考真题，深入解析等差数列的应用实例，帮助考生掌握解题技巧，提高应对考试的能力。

题目

设(m)为正整数，数列(a_1,a_2,...,a_{4m+2})为公差不为(0)的等差数列，若从中删去两项(a_i,a_j(i<j))后剩下的(4m)项可被分成(m)组且每组(4)个数都能构成等差数列，则称数列(a_1,a_2,...,a_{4m+2})是((i,j))的一可分数列。

写出所有的((i,j))，(1\le i<j\le 6)，使数列(a_1,a_2,...,a_6)是((i,j))的一可分数列。
当(m\ge 3)时，证明：数列(a_1,a_2,...,a_{4m+2})是((2,13))的一可分数列。
从(1,2,...,4m+2)中一次随机取两个数(i,j(i<j))，记数列(a_1,a_2,...,a_{4m+2})是((i,j))的一可分数列的概率为(P_m)，证明：(P_m> \frac 1 8)。

解析

首先，考虑数列(a_i)并不已知，注意到是否为等差数列和首项及公差均无关，只与项数有关，不妨设(a_i=i)，不失一般性。

第一问

很明显(4)个数公差只能为(1)，即四个数必须连续，故可以删掉(1,2)或(1,6)或(5,6)。

答案为((1,2),(1,6),(5,6))。

第二问

容易发现对(i>14)的部分可以每连续的四个数组成一个等差数列，因此只要考虑前(14)个数即可。

去掉(2)和(13)后，还剩下(1,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14)，可分为({1,4,7,10},{3,6,9,12},{5,8,11,14})三组，符合可分数列的定义，故原数列为((2,13))的一可分数列。

第三问

将(4m+2)个数写成(4\times (m+1))的矩阵，其中四列分别记为 ABCD 组（即按(i)与(4)取模的值分成(1,2,3,0)）。

容易发现如果取走的(i,j)属于 CD 组，那么较难给出一个答案的构造，且若(i,j)属于 AB 组，构造的方案数已经可以达到预期。

情况 1：设(i=4p+1,j=4q+2\ (p\le q))，即(i)属于 A 组，(j)属于 B 组。

前(4p)个数每连续的(4)个数为一组，共(p)组，后(4q+3)到(4m+2)每连续的(4)个数为一组，共((m-q))组，中间(i)到(j)每连续的(4)个数为一组，共((q-p))组，符合可分数列的定义。

情况 2：设(i=4p+2,j=4q+1\ (p<q-1))，即(i)属于 B 组，(j)属于 A 组。

注意到(p)行到(q)行的构造只与(q-p\ \text{mod}\ 4)的值有关（因为可以通过(4)行为一组的重复扩展到(q-p)），分类讨论：

若(q-p\equiv 0\ (\text{mod}\ 2))

中间(4p+1)到(4q+2)每隔一个数的(4)个数为一组（公差为(2)，拿走的(i)空开，最后刚好没有取到(j)），共((q-p))组，剩下的数仿照情况 1，符合可分数列的定义，如下图。

若(q-p\equiv 3\ (\text{mod}\ 4))

中间(4p+1)到(4q+2)每隔两个数的(4)个数为一组（公差为(3)，拿走的(i)空开，最后刚好没有取到(j)），共((q-p))组，剩下的数仿照情况 1，符合可分数列的定义，如下图。

若(q-p\equiv 1\ (\text{mod}\ 4))

中间(4p+1)到(4(p+2)+2)每隔一个数的(4)个数为一组（公差为(2)，拿走的(i)空开，最后刚好没有取到(4(p+2)+1)），共(2)组，此时若将(4(p+2)+2)看成(i)，那么(q-(p+2)\equiv 3\ (\text{mod}\ 4))即上一情况，同理，符合可分数列的定义。

值得注意的是若(p=q-1)无法通过简单的构造满足条件。

综上所述，可以通过构造找出((m+1)^2-m=m^2+m+1)种((i,j))满足条件。

[P_m=\frac {m^2+m+1}{\text{C}_{4m+2}^{2}}=\frac 1 8+\frac {\frac 1 4m+\frac 7 8}{8m^2+6m+1}>\frac 1 8 ]

证毕。