高考数学：用导数法搞定函数单调区间

高考数学：用导数法搞定函数单调区间

在高考数学中，掌握函数的单调性是非常关键的一环。今天就教大家一种高效的方法——导数法，来快速确定函数的单调区间。导数法不仅可以帮助我们直观地看到函数的增减趋势，还能在考试中节省大量时间。让我们一起来学习一下吧！

导数与函数的单调性之间有密切的关系。如果函数在某个区间上的导数始终为正，即导数大于零，则这个函数在该区间上是递增的（单调递增）。这意味着函数的值随着自变量的增加而增加。相反，如果函数在某个区间上的导数始终为负，即导数小于零，则这个函数在该区间上是递减的（单调递减）。这意味着函数的值随着自变量的增加而减小。另外，如果函数在某个区间上的导数恒为零，则函数在该区间上是常数函数（单调不变）。

需要注意的是，导数为零并不意味着函数一定是单调的。在导数为零的点处，函数可能存在极值点，即局部最大值或最小值。此外，导数不存在的点处也可能存在函数的极值点。因此，通过对函数的导数进行研究，可以推断函数的单调性和极值点的位置。

从上面的动图不难看出：

• 在单调增区间内，以图像上任意一点为切点的切线斜率均为正数，也即导数值为正。
• 在单调减区间内，以图像上任意一点为切点的切线斜率均为负数，也即导数值为负。

对于可导函数y=f(x):

• 如果在某个区间(a,b)内f'(x) > 0 ，则函数f(x)在该区间内单调递增;
• 如果在某个区间(a,b)内f'(x) < 0 ，则函数f(x)在该区间内单调递减。

若y =f(x)在区间(a, b)内可导:

• f'(x) ≥0是函数单调递增的充要条件;
• f'(x)≤0是函数单调递减的充要条件。

让我们通过几个典型例题来具体应用导数法：

例题1：多项式函数

已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 1，求函数f(x)的单调区间和极值。

解题步骤：

1. 求一阶导数：
   [ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x ]

2. 确定临界点：
   令f'(x) = 0来找到临界点：
   [ 3x^2 - 6x = 0 ]
   [ 3x(x - 2) = 0 ]
   解得：x = 0或x = 2

3. 判断单调性：

• 当x < 0时，f'(x) > 0，所以f(x)在(-∞, 0)上是增函数。
• 当0 < x < 2时，f'(x) < 0，所以f(x)在(0, 2)上是减函数。
• 当x > 2时，f'(x) > 0，所以f(x)在(2, +∞)上是增函数。

因此，函数的单调递增区间为(-∞, 0)和(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)。

4. 求极值：
   根据单调性的变化，我们可以确定极值点：

• 当x = 0时，函数有极大值f(0) = 1；
• 当x = 2时，函数有极小值f(2) = -3。

综上所述，函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 1的单调递增区间为(-∞, 0)和(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)。函数在x = 0处取得极大值1，在x = 2处取得极小值-3。

例题2：分式函数

已知函数f(x) = (x^2 + 1) / x，求函数f(x)的单调区间。

解题步骤：

1. 求一阶导数：
   [ f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2 + 1}{x}\right) = \frac{2x \cdot x - (x^2 + 1) \cdot 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} ]

2. 确定临界点：
   令f'(x) = 0来找到临界点：
   [ \frac{x^2 - 1}{x^2} = 0 ]
   解得：x = 1或x = -1

3. 判断单调性：

• 当x < -1时，f'(x) > 0，所以f(x)在(-∞, -1)上是增函数。
• 当-1 < x < 0时，f'(x) < 0，所以f(x)在(-1, 0)上是减函数。
• 当0 < x < 1时，f'(x) < 0，所以f(x)在(0, 1)上是减函数。
• 当x > 1时，f'(x) > 0，所以f(x)在(1, +∞)上是增函数。

因此，函数的单调递增区间为(-∞, -1)和(1, +∞)，单调递减区间为(-1, 0)和(0, 1)。

1. 考虑导数不存在的点：除了导数为零的点，还要考虑导数不存在的点，这些点也可能是函数的临界点。

2. 注意函数的定义域：在求解过程中，要时刻关注函数的定义域，避免在无定义的区间上讨论单调性。

3. 使用开区间表示端点：在表示单调区间时，通常使用开区间表示端点，以避免包含临界点导致的错误。

4. 分析导数的符号变化：通过分析导数的符号变化来确定函数的单调性，而不是仅仅依赖于导数的值。

让我们通过一道高考真题来检验一下学习成果：

（2021年全国乙卷理科数学第21题）
已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + ax + 2，曲线y = f(x)在点(0, 2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2，求a的值。

解题步骤：

1. 求函数在点(0, 2)处的切线斜率：
   [ f'(x) = 3x^2 - 6x + a ]
   在点(0, 2)处的切线斜率为：
   [ f'(0) = a ]

2. 写出切线方程：
   切线方程为y - 2 = a(x - 0)，即y = ax + 2。

3. 求切线与x轴的交点：
   令y = 0，解得x = -2/a。

4. 根据题意，切线与x轴交点的横坐标为-2，所以：
   [ -\frac{2}{a} = -2 ]
   解得a = 1。

通过这道高考真题，我们可以看到导数法在解决实际问题中的强大应用。掌握导数法不仅可以帮助我们快速确定函数的单调区间，还能在解决复杂问题时提供清晰的思路。

总结一下，导数法是确定函数单调区间的重要工具。通过计算函数的导数并分析其符号变化，我们可以准确判断函数的增减趋势。在实际应用中，要注意考虑导数不存在的点，同时关注函数的定义域。通过大量练习和实战演练，相信你一定能掌握这一重要技巧，在高考中取得好成绩！