二次函数顶点坐标公式全解析：4种形式+解题技巧

二次函数顶点坐标公式全解析：4种形式+解题技巧

在学习初二数学时，二次函数是一个重要的知识点。其中，二次函数顶点坐标公式是经常考到的内容。掌握这些公式和解题方法，可以帮助你在考试中避免丢分。本文将从二次函数的一般式、顶点式、交点式和两根式等方面，详细阐述二次函数顶点坐标公式的应用。

二次函数顶点坐标公式及解题方法

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：

1. 一般式：y=ax²+bx+c (a,b,c为常数，a≠0)，则称y为x的二次函数。顶点坐标为(-b/2a, (4ac-b²)/4a)。

2. 顶点式：y=a(x-h)²+k或y=a(x+m)²+k (a,h,k为常数，a≠0)。

3. 交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)。

4. 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax²+bx+c=0的两个根，a≠0。

说明：

• 任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y=a(x-h)²+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)。

• 当h=0时，抛物线y=ax²+k的顶点在y轴上；

• 当k=0时，抛物线a(x-h)²的顶点在x轴上；

• 当h=0且k=0时，抛物线y=ax²的顶点在原点。

• 当抛物线y=ax²+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax²+bx+c=0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax²+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。

抛物线顶点坐标公式及解题方法

对于二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)，其顶点坐标公式为(-b/2a, (4ac-b²)/4a)。

对于简化形式y=ax²+bx，其顶点坐标为(-b/2a, -b²/4a)。

相关结论

考虑抛物线y²=2px (p>0)，过其焦点F作倾斜角为θ的直线L，L与抛物线相交于两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则有以下结论：

1. x1x2 = p²/4 ，y1y2 = -P²，此结论在直线过焦点时成立；
2. 焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[(sinθ)²]；
3. (1/|FA|)+(1/|FB|)= 2/P；
4. 若OA垂直OB，则直线AB过定点M(2P，0)；
5. 焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于到准线L的距离）；
6. 弦长公式：AB=√(1+k²)*│x2-x1│；
7. △=b²-4ac；
8. 由抛物线焦点到其切线的垂线距离，是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；
9. 标准形式的抛物线在x0，y0点的切线方程为：yy0=p(x+x0)。

此外，关于一元二次方程的判别式△=b²-4ac，有以下三种情况：

• △>0时，方程有两个不同的实数根；
• △=0时，方程有两个相同的实数根；
• △<0时，方程没有实数根。

本文原文来自youkee.com