中考数学角平分线11大黄金模型，让你秒懂三角形证明

中考数学角平分线11大黄金模型，让你秒懂三角形证明

在中考数学中，角平分线的证明题一直是考生们需要重点掌握的内容。角平分线不仅在几何证明中频繁出现，还是解决三角形相关问题的重要工具。本文将系统介绍角平分线的定义、性质和常见模型，帮助读者掌握各种证明方法和解题技巧。

定义

角平分线是指将一个角分成两个相等角的射线。例如，在∠ABC中，如果射线BD将∠ABC分成两个相等的角，即∠ABD = ∠DBC，那么射线BD就是∠ABC的角平分线。

性质

角平分线具有以下重要性质：

1. 等距性：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。这一性质在证明全等三角形和解决距离问题时非常有用。
2. 对称性：角平分线是角的对称轴。这意味着如果一个图形关于角平分线对称，那么这个图形在角平分线两侧的部分是完全相同的。

角平分线定理

角平分线定理指出：在三角形中，如果一条线段平分一个角，并且与这个角的对边相交，那么这条线段将会把对边分成两条线段，这两条线段的长度之比等于夹角两边长度之比。用数学语言表示就是：在△ABC中，如果AD是∠A的角平分线，与BC边相交于点D，那么BD/DC = AB/AC。

方法一：使用量角器

1. 测量角度：使用量角器测量需要平分的角的度数。
2. 计算一半角度：将测得的角度除以2，得到角平分线需要经过的角度。
3. 标记角度：在量角器上找到计算出的一半角度，并在角的边上标记这个角度。
4. 画直线：使用直尺连接角的顶点和标记的角度点，这条直线就是角的平分线。

方法二：使用圆规

1. 以角的顶点为圆心，任意长度为半径画弧：这条弧会与角的两条边相交。
2. 以两个交点为圆心，相同半径画弧：这两个弧会相交于一点。
3. 画直线：使用直尺连接角的顶点和两个弧的交点，这条直线就是角的平分线。

方法三：使用折纸法

1. 将角的两条边重合：沿着角平分线折叠纸张，使角的两条边完全重合。
2. 标记折痕：展开纸张，折痕就是角的平分线。

模型一：截取构全等

当题目中出现角平分线和相等线段时，可以通过截取相等线段来构造全等三角形。例如，在△ABC中，如果BD是∠ABC的平分线，且AB = AC，可以通过在BC上截取BE = AB，然后连接DE，构造出全等三角形△ABD和△EBD。

模型二：角分线上点向两边作垂线

当角平分线上有一点时，可以向角的两边作垂线，利用垂线构造全等三角形。例如，在△ABC中，如果AD是∠BAC的平分线，可以在AD上任取一点E，作EF⊥AB于F，EG⊥AC于G，利用EF = EG的性质构造全等三角形。

模型三：三线合一构造等腰三角形

当题目中出现角平分线、中线和高线时，可以利用这三条线的性质构造等腰三角形。例如，在△ABC中，如果AD是∠BAC的平分线，同时又是BC边的中线和高线，那么△ABC是一个等腰三角形，且AB = AC。

模型四：角平分线加平行线

当角平分线与平行线同时出现时，可以利用平行线的性质构造等腰三角形。例如，在△ABC中，如果AD是∠BAC的平分线，过点D作DE∥AB交AC于E，那么△ADE是一个等腰三角形，且AE = DE。

例题1：构造全等三角形

题目：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平分线，AD=CD。求证：∠A+∠C=180°。

解析：可以通过构造全等三角形来证明。具体步骤如下：

1. 在BC上截取BE=AB，连接DE。
2. 证明△ABD≌△EBD（SAS）。
3. 由全等三角形的性质得到∠A=∠BED。
4. 由于∠BED+∠C=180°（同旁内角互补），所以∠A+∠C=180°。

例题2：构造等腰三角形

题目：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，AD平分∠CAB，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E。求证：AD=2BE。

解析：可以通过构造等腰三角形来证明。具体步骤如下：

1. 延长BE至点F，使得EF=BE。
2. 证明△ABE≌△AFE（ASA）。
3. 由全等三角形的性质得到AE=AF，∠ABE=∠AFE。
4. 由于∠ABE+∠CAB=90°，所以∠AFE+∠CAB=90°，即∠AFD=90°。
5. 证明△ACD≌△AFD（ASA）。
6. 由全等三角形的性质得到AD=FD，所以AD=2BE。

例题3：利用角平分线的对称性

题目：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F。求证：DE=DF。

解析：可以通过角平分线的对称性来证明。具体步骤如下：

1. 作点E关于线段AD的对称点P，连接DP。
2. 证明△ADE≌△ADP（SAS）。
3. 由全等三角形的性质得到DE=DP，∠ADE=∠ADP。
4. 由于∠ADE+∠ADF=120°，所以∠ADP+∠ADF=120°，即∠PDF=120°。
5. 由于∠PDF=∠PDE（对顶角相等），所以∠PDE=120°。
6. 由于∠PDE+∠ADE=180°（邻补角），所以∠ADE=60°。
7. 由于∠ADE=∠ADF（对顶角相等），所以∠ADF=60°。
8. 由于∠ADF=∠ADF（公共角），所以△ADF是等边三角形。
9. 由等边三角形的性质得到DF=AF。
10. 由于点P是点E关于线段AD的对称点，所以DP=DE。
11. 由等量代换得到DE=DF。

掌握角平分线的证明方法和常见模型对于解决中考数学中的几何问题至关重要。通过理解角平分线的定义、性质和定理，以及熟练运用各种证明方法和模型，可以提高解题效率和准确性。在实际应用中，需要根据题目条件灵活选择合适的策略，有时可能需要结合多个模型或方法。通过大量的练习和总结，相信你一定能够在中考数学中游刃有余，轻松应对各种复杂的几何题型。