三角形角平分线定理：从基础概念到应用实践

创作时间:

2025-01-22 03:24:30

作者:

@小白创作中心

三角形角平分线定理：从基础概念到应用实践

在几何的世界里，三角形如同最基础的积木，构筑着无数奇妙的图形。而在这奇妙的三角形中，又隐藏着许多神奇的线段，比如我们今天要探索的“魔法线”——角平分线。这条线仿佛拥有神奇的魔力，将一个角一分为二的同时，也在三角形的边上创造出奇妙的比例关系。

从生活中的“角平分线”说起

让我们想象一下：在一个阳光明媚的午后，你正在草坪上放风筝。风筝线与地面形成一个三角形，而你手中的线恰好将风筝线与地面形成的角一分为二。此时，一个有趣的问题出现了：这条角平分线与风筝线、地面之间的关系是怎样的呢？

这就是“角平分线定理”要解答的问题。这条定理告诉我们：在一个三角形中，如果一条线段平分一个角，并且与这个角的对边相交，那么这条线段将会把对边分成两条线段，这两条线段的长度之比等于夹角两边长度之比。

为了更直观地理解这条定理，让我们用数学语言来表达。假设在一个三角形ABC中，AD是∠A的角平分线，与BC边相交于点D。那么，根据角平分线定理，我们可以得到如下比例关系：

BD / DC = AB / AC

这条简洁的公式，蕴含着深刻的几何原理。接下来，让我们一起来探索这个定理的证明方法。

证明角平分线定理：三种方法任你选

方法一：面积法

首先，过点C作CE平行于AD，交BA的延长线于点E。由于CE // AD，根据平行线性质，我们可以得到∠EAD = ∠AEC，∠CAD = ∠ACE。又因为AD是∠A的角平分线，所以∠EAD = ∠CAD。综合以上关系，我们可以得出∠AEC = ∠ACE，因此三角形ACE是一个等腰三角形，即AE = AC。

接下来，我们分别计算三角形ABD和三角形ACD的面积。由于这两个三角形拥有共同的顶点A，因此它们面积之比等于底边BD和DC之比，即：

S△ABD / S△ACD = BD / DC

同时，我们也可以分别以BD和DC作为底边，将这两个三角形的面积表示为：

S△ABD = (1/2) BD AE
S△ACD = (1/2) DC AC

将以上两式代入面积比公式，并注意到AE = AC，我们可以得到：

BD / DC = (1/2) BD AE / (1/2) DC AC = BD / DC AE / AC = BD / DC AB / AC

化简后，我们最终得到：

BD / DC = AB / AC

方法二：相似形法

在三角形ABC中，若AD是∠BAC的角平分线，则有：

AB / AC = BD / DC

证明过程：

构造辅助圆：作△ABC的外接圆，并延长AD交圆于点E。
应用正弦定理：
- 在△ABD和△ACE中分别使用正弦定理，得：
  [
  \frac{AB}{\sin∠ADB} = \frac{BD}{\sin∠BAD}, \quad \frac{AC}{\sin∠AEC} = \frac{CE}{\sin∠CAE}
  ]
- 因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD = ∠CAE。又因为∠ADB + ∠AEC = 180°（对顶角），故sin∠ADB = sin∠AEC。
等量代换与化简：
- 将上述正弦值相等的关系代入，得到：
  [
  \frac{AB}{BD} = \frac{\sin∠ADB}{\sin∠BAD} = \frac{\sin∠AEC}{\sin∠CAE} = \frac{AC}{CE}
  ]
- 又因∠ABE = ∠ACE（同弧所对的圆周角相等），由正弦定理知：
  [
  \frac{AB}{AE} = \frac{\sin∠ACE}{\sin∠ABE} \Rightarrow AB \cdot CE = AC \cdot BD
  ]
- 结合前面的比例关系，可推出：
  [
  \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE}
  ]
利用相似性：
- 注意到∠BDE = ∠CDE（AD为角平分线）且∠DBE = ∠DCE（同弧所对的圆周角相等），因此△BDE ∽ △CDE。
- 故有：
  [
  \frac{BD}{CD} = \frac{BE}{CE}
  ]
- 而BE = AB（等腰三角形性质），从而：
  [
  \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
  ]

方法三：正弦定理法

通过构造辅助圆和应用正弦定理，可以证明角平分线定理。具体步骤如下：

构造辅助圆：作△ABC的外接圆，并延长AD交圆于点E。
应用正弦定理：
- 在△ABD和△ACE中分别使用正弦定理，得：
  [
  \frac{AB}{\sin∠ADB} = \frac{BD}{\sin∠BAD}, \quad \frac{AC}{\sin∠AEC} = \frac{CE}{\sin∠CAE}
  ]
- 因为AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD = ∠CAE。又因为∠ADB + ∠AEC = 180°（对顶角），故sin∠ADB = sin∠AEC。
等量代换与化简：
- 将上述正弦值相等的关系代入，得到：
  [
  \frac{AB}{BD} = \frac{\sin∠ADB}{\sin∠BAD} = \frac{\sin∠AEC}{\sin∠CAE} = \frac{AC}{CE}
  ]
- 又因∠ABE = ∠ACE（同弧所对的圆周角相等），由正弦定理知：
  [
  \frac{AB}{AE} = \frac{\sin∠ACE}{\sin∠ABE} \Rightarrow AB \cdot CE = AC \cdot BD
  ]
- 结合前面的比例关系，可推出：
  [
  \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE}
  ]
利用相似性：
- 注意到∠BDE = ∠CDE（AD为角平分线）且∠DBE = ∠DCE（同弧所对的圆周角相等），因此△BDE ∽ △CDE。
- 故有：
  [
  \frac{BD}{CD} = \frac{BE}{CE}
  ]
- 而BE = AB（等腰三角形性质），从而：
  [
  \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
  ]