高考数学必考：三角形内外接圆半径计算技巧
高考数学必考：三角形内外接圆半径计算技巧
三角形的内切圆和外接圆是平面几何中的重要概念，也是高考数学中的常见考点。掌握它们的性质和计算方法，不仅能帮助我们解决相关题目，还能提升我们的几何思维能力。本文将从定义、公式推导到具体应用，全面解析三角形内外接圆半径的计算技巧。
基本概念
内切圆与内心
三角形的内切圆是指与三角形三边都相切的圆，其圆心称为三角形的内心。内心是三角形三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径。
外接圆与外心
三角形的外接圆是指通过三角形三个顶点的圆，其圆心称为三角形的外心。外心是三角形三边垂直平分线的交点。对于锐角三角形，外心在三角形内部；对于直角三角形，外心位于斜边中点；对于钝角三角形，外心在三角形外部。
计算公式及证明
内切圆半径
对于任意三角形ABC，设其三边长分别为a、b、c，半周长为s=(a+b+c)/2，面积为A。
内切圆半径r的计算公式为：
[ r = \frac{A}{s} ]
证明过程如下：
设内切圆半径为r，内心到三边的垂足分别为D、E、F，则有：
[ A = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a+b+c) = rs ]
从而得到：
[ r = \frac{A}{s} ]
对于直角三角形，内切圆半径还有更简单的计算公式：
[ r = \frac{a + b - c}{2} ]
其中a、b为直角边，c为斜边。
外接圆半径
对于任意三角形ABC，设其三边长分别为a、b、c，对应角分别为A、B、C，面积为A。
外接圆半径R的计算公式为：
[ R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C} ]
这个公式可以通过正弦定理证明。另外，还可以通过面积关系得到另一个计算公式：
[ R = \frac{abc}{4A} ]
证明过程如下：
由正弦定理可知：
[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R ]
又因为：
[ A = \frac{1}{2}bc\sin A ]
所以：
[ R = \frac{abc}{4A} ]
对于直角三角形，外接圆半径等于斜边的一半。
高考题型解析
题型一：直接计算内外接圆半径
例题1：在△ABC中，已知a=6，b=8，c=10，求其内切圆和外接圆的半径。
解析：
这是一个直角三角形，因为6²+8²=10²。
内切圆半径：
[ r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2 ]
外接圆半径：
[ R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 ]
题型二：结合正余弦定理解题
例题2：在△ABC中，已知a=4，b=5，∠C=60°，求其外接圆半径。
解析：
首先利用余弦定理求出边c：
[ c² = a² + b² - 2ab\cos C = 4² + 5² - 2×4×5×\cos 60° = 21 ]
[ c = \sqrt{21} ]
然后利用外接圆半径公式：
[ R = \frac{c}{2\sin C} = \frac{\sqrt{21}}{2\sin 60°} = \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{3}} = \sqrt{7} ]
题型三：综合应用
例题3：在△ABC中，已知a=7，b=8，c=9，求其内切圆半径。
解析：
首先利用海伦公式求出面积A：
[ s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = 12 ]
[ A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12×5×4×3} = 12\sqrt{5} ]
然后利用内切圆半径公式：
[ r = \frac{A}{s} = \frac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5} ]
总结提升
- 熟记内切圆半径和外接圆半径的计算公式，理解其推导过程。
- 在解题时，要灵活运用正弦定理、余弦定理等工具。
- 对于直角三角形，要善于利用其特殊性质简化计算。
- 注意区分内心和外心的位置特征，避免混淆。
通过以上内容的学习，相信你已经掌握了三角形内外接圆半径的计算方法。在高考中，这类题目往往需要结合其他知识点综合考察，因此，除了记住公式，更要理解其背后的几何原理，这样才能在遇到复杂问题时游刃有余。