中考数学真题解析：矩形翻折问题的解题思路与方法
中考数学真题解析：矩形翻折问题的解题思路与方法
矩形作为初中数学几何部分的重要内容，一直是中考的热点和难点。如何破解矩形相关的几何题，是每位考生都需要掌握的技能。本文将通过一道典型的中考真题，深入解析矩形问题的解题思路和方法。
题目再现
如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上。将四边形ABFE沿EF翻折，使点A的对称点P落在DC边上，同时点B的对称点为G，PG交BC于点H。
- 求证：△EDP∽△PCH。
- 若P为CD中点，且AB=2，BC=3，求GH的长度。
- 连接BG，若P为BC中点，H为AB中点，探究BG与AB的大小关系，并说明理由。
解题思路与方法
问题1：证明相似三角形
要证明△EDP∽△PCH，我们需要找到两个三角形中对应角相等或对应边成比例的条件。
- 首先利用矩形的性质：∠A = ∠D = ∠C = 90°
- 折叠后∠EPH = ∠A = 90°，因此∠1 + ∠2 = 90°
- 由于∠1 + ∠3 = 90°，可得∠3 = ∠2
根据AA相似判定定理（两角对应相等的两个三角形相似），我们得出△EDP∽△PCH。
问题2：计算线段长度
当P为CD中点时，CD = AB = 2，因此DP = CP = 1。
设EP = AP = x，则ED = AD - AE = 3 - x。
在Rt△EDP中，利用勾股定理：
[x^2 = (3-x)^2 + 1^2]
解得：[x = \frac{5}{3}]
接下来，利用相似三角形的比例关系：
[\frac{ED}{PC} = \frac{EP}{PH}]
[\frac{\frac{4}{3}}{1} = \frac{\frac{5}{3}}{PH}]
解得：[PH = \frac{5}{4}]
因此，GH = PG - PH = 2 - 5/4 = 3/4。
问题3：探究线段关系
当P为BC中点，H为AB中点时，我们延长AB、PG交于M，连接AP。
- 利用平行线和中点性质：BG∥AP，MA = MP
- 设DP = CP = y，则AB = PG = CD = 2y，BH = CH
通过全等三角形BMH≌PCH，得到BM = CP = y，HM = HP。
- MP = MA = MB + AB = 3y
- HP = (\frac{3y}{2})
在Rt△PCH中，利用勾股定理求BC：
[BC = \sqrt{5}y]
分析相似三角形BMG∽MAP，找出BG与AB的关系：
[BG/AP = BM/AM = 1/3]
即[BG = (\sqrt{6}/3)y]
因此，AB/BG = (\sqrt{6})，即AB = (\sqrt{6}BG)。
解题要点总结
矩形性质的运用：矩形的四个角都是直角，对边相等，对角线互相平分且相等。这些性质是解题的基础。
折叠问题的关键：折叠前后对应角相等，对应边相等。要善于利用对称性找到相等的线段和角。
相似三角形的判定：AA、SAS、SSS等判定定理要熟练掌握。相似三角形可以提供边的比例关系，是解题的重要工具。
勾股定理的应用：在直角三角形中，勾股定理是求边长的有力工具。
辅助线的添加：适当添加辅助线可以构造出更多的相似三角形或直角三角形，帮助解决问题。
通过这道题目，我们可以看到，矩形问题的解决需要综合运用几何知识，包括矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等。同时，解题过程中还需要具备一定的逻辑推理能力和代数计算能力。希望同学们通过练习，能够熟练掌握这类题目的解法，在中考中取得好成绩。