用蒙特卡洛方法玩转圆周率计算

用蒙特卡洛方法玩转圆周率计算

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来源

1.

https://blog.csdn.net/deephub/article/details/141852361

2.

https://blog.csdn.net/Begoniaish/article/details/135897607

3.

https://blog.csdn.net/csdn1561168266/article/details/138216011

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https://blog.csdn.net/hxc2B/article/details/136783518

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/584769095

6.

https://blog.csdn.net/qq_41608408/article/details/136124698

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https://developer.aliyun.com/article/1650169

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https://cn.comsol.com/blogs/estimating-pi-using-the-monte-carlo-method-and-particle-tracing

9.

https://www.cnblogs.com/tecdat/p/18335313

在数学的世界里，有一种方法就像赌场里的轮盘赌一样，通过随机和概率来解决问题。这种方法就是蒙特卡洛方法，它不仅在数学中有重要应用，在物理学、工程学等领域也十分常见。今天，我们就来玩转一下这个有趣的方法，用它来计算圆周率π。

蒙特卡洛方法的诞生颇具传奇色彩。1945年，参与曼哈顿计划的科学家斯坦尼斯劳·乌拉姆在康复期间，通过纸牌游戏中的概率问题，萌生了用随机抽样解决复杂问题的想法。他与同事约翰·冯·诺依曼讨论后，共同奠定了蒙特卡洛方法的理论基础。这个名字灵感来自摩纳哥著名的蒙特卡洛赌场，象征着其处理高风险和不确定性的特性。

想象一下，你被蒙上眼睛，随机向一个大正方形飞镖靶投掷飞镖。这个正方形内有一个圆形目标。目标是通过这个游戏来估计π的值。

圆的面积与正方形面积的比率是π/4。因此，如果投掷大量飞镖，落在圆内的飞镖数量与总飞镖数量的比率应该近似于π/4。将这个比率乘以4，就得到了π的估计值。

让我们用Python代码来实现这个有趣的计算过程。以下是一个简单的示例：

import random
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def estimate_pi(num_points):
    points_inside_circle = 0
    x_inside, y_inside = [], []
    x_outside, y_outside = [], []

    for _ in range(num_points):
        x, y = random.uniform(-1, 1), random.uniform(-1, 1)
        if x**2 + y**2 <= 1:
            points_inside_circle += 1
            x_inside.append(x)
            y_inside.append(y)
        else:
            x_outside.append(x)
            y_outside.append(y)

    pi_estimate = 4 * points_inside_circle / num_points
    return pi_estimate, x_inside, y_inside, x_outside, y_outside

# 设置飞镖数量
num_points = 10000
pi_estimate, x_inside, y_inside, x_outside, y_outside = estimate_pi(num_points)

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(6, 6))
plt.scatter(x_inside, y_inside, color='blue', label='Inside Circle')
plt.scatter(x_outside, y_outside, color='red', label='Outside Circle')
plt.legend()
plt.title(f'Estimating Pi with Monte Carlo: {pi_estimate}')
plt.show()

print(f'Estimated Pi: {pi_estimate}')

这段代码做了以下几件事：

1. 随机生成大量点（飞镖），分布在-1到1的正方形区域内。
2. 判断每个点是否落在单位圆内（即x^2 + y^2 <= 1）。
3. 统计落在圆内的点数，计算π的估计值。
4. 使用matplotlib库绘制结果，蓝色点表示落在圆内的点，红色点表示落在圆外的点。

蒙特卡洛方法虽然简单直观，但精度并不高。需要生成大量的随机点才能得到较为精确的π值。例如，使用10000个点时，估计值可能只有2-3位小数的精度。但这种方法具有天然的并行性，非常适合利用多核处理器或分布式计算加速。

蒙特卡洛方法以其独特的随机性和概率性，在处理复杂问题时展现出强大的适应性。虽然在计算圆周率这样的简单问题上可能不是最优选择，但在金融风险评估、物理模拟、工程优化等领域，它仍然是不可或缺的工具。正如乌拉姆所说：“概率方法的力量在于其简单性。”