高考数学必考：定比分点坐标公式解析

高考数学必考：定比分点坐标公式解析

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/663301422

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https://zhidao.baidu.com/question/1395563494529362500.html

3.

https://zhidao.baidu.com/question/659360454471604765.html

4.

https://blog.csdn.net/miss_ben/article/details/140225995

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https://blog.csdn.net/u011699626/article/details/138892000

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/689988911

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http://sx.ychedu.com/SXJA/GEJA/612058.html

8.

https://www.cnblogs.com/fortunely/category/2339363.html

9.

https://leetcode.cn/problems/intersection-lcci/solution/jiao-dian-by-leetcode-solution/

在高考数学中，定比分点坐标公式是一个重要的知识点。它不仅在解析几何中有着广泛的应用，还是解决许多几何问题的关键工具。本文将从定比分点的定义出发，详细解析该公式的两种推导方法，并通过具体实例展示其应用。

在平面直角坐标系中，设点(P)在线段(AB)上，且满足向量关系(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB})，则称点(P)为线段(AB)的定比分点，其中(\lambda)为定比。

根据(\lambda)的取值不同，定比分点可分为内分点和外分点：

• 当(\lambda > 0)时，点(P)在线段(AB)上，称为内分点；
• 当(\lambda < 0)时，点(P)在线段(AB)的延长线上，称为外分点。

定比分点坐标公式如下：
设(A(x_1, y_1))、(B(x_2, y_2))为已知两点，(P(x, y))为线段(AB)上满足(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB})的定比分点，则点(P)的坐标为：
[
P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)
]

平面几何推导

设(P(x, y))为线段(AB)上的定比分点，且(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB})。

由向量关系可得：
[
(x - x_1, y - y_1) = \lambda(x_2 - x, y_2 - y)
]

分别对横纵坐标进行展开，得到两个方程：
[
x - x_1 = \lambda(x_2 - x)
]
[
y - y_1 = \lambda(y_2 - y)
]

整理上述方程，可得：
[
x(1 + \lambda) = x_1 + \lambda x_2
]
[
y(1 + \lambda) = y_1 + \lambda y_2
]

从而得到点(P)的坐标：
[
P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)
]

向量推导

设(P(x, y))为线段(AB)上的定比分点，且(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB})。

由向量加法原理，有：
[
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AP}
]
[
\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BP}
]

由于(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB})，可以写成：
[
\overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OA} = \lambda(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP})
]

整理得到：
[
\overrightarrow{OP}(1 + \lambda) = \overrightarrow{OA} + \lambda \overrightarrow{OB}
]

从而得到点(P)的坐标：
[
P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)
]

定比分点坐标公式在解析几何中有着广泛的应用，特别是在处理与比例相关的几何问题时。以下通过一个具体实例来展示该公式的应用。

例题：已知椭圆(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1)（(a > b > 0)），点(A(x_1, y_1))、(B(x_2, y_2))在椭圆上，且点(P(x_0, y_0))满足(\overrightarrow{AP} = \lambda \overrightarrow{PB})。证明：点(P)的坐标满足椭圆方程。

证明：

由题意知，点(A)、(B)在椭圆上，因此有：
[
\begin{cases}
\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1 \
\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1
\end{cases}
]

根据定比分点坐标公式，点(P)的坐标为：
[
P\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)
]

将点(P)的坐标代入椭圆方程，得到：
[
\frac{\left(\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}\right)^2}{a^2} + \frac{\left(\frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right)^2}{b^2}
]

整理得到：
[
\frac{(x_1 + \lambda x_2)^2}{a^2(1 + \lambda)^2} + \frac{(y_1 + \lambda y_2)^2}{b^2(1 + \lambda)^2}
]

由于点(A)、(B)在椭圆上，可以将上述方程化简为：
[
\frac{x_1^2 + 2\lambda x_1x_2 + \lambda^2 x_2^2}{a^2(1 + \lambda)^2} + \frac{y_1^2 + 2\lambda y_1y_2 + \lambda^2 y_2^2}{b^2(1 + \lambda)^2}
]

利用椭圆方程(\frac{x_1^2}{a^2} + \frac{y_1^2}{b^2} = 1)和(\frac{x_2^2}{a^2} + \frac{y_2^2}{b^2} = 1)，可以进一步化简为：
[
\frac{1 + 2\lambda \left(\frac{x_1x_2}{a^2} + \frac{y_1y_2}{b^2}\right) + \lambda^2}{(1 + \lambda)^2}
]

由于点(A)、(B)在椭圆上，可以证明(\frac{x_1x_2}{a^2} + \frac{y_1y_2}{b^2} = 1)，因此上式化简为1，即点(P)的坐标满足椭圆方程。

通过这个例子，我们可以看到定比分点坐标公式在解决几何问题中的强大作用。它不仅能够帮助我们快速找到线段上的特定点，还能在处理与比例相关的问题时提供便利。

定比分点坐标公式是高考数学中的一个重要考点，掌握该公式不仅能帮助你在考试中得分，还能提升你对平面直角坐标系的理解。通过平面几何和向量两种推导方法，我们可以深入理解这个公式的本质。在实际应用中，该公式常用于解决与比例相关的几何问题，如中点弦问题、三点共线问题等。希望本文能帮助你更好地掌握这个重要的数学工具。