圆周角定理及其证明

圆周角定理及其证明

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/chenbb1989/article/details/140660114

圆周角定理是几何学中的一个重要定理，它描述了圆上任意三点所形成的圆周角与圆心角之间的关系。这个定理不仅在几何学中有重要应用，也是计算机图形学、物理学等领域中解决相关问题的基础。本文将详细介绍圆周角定理的内容及其证明过程。

设圆C的圆心为c且半径大于0。p, q为圆上不同的两点。则对于任意圆上一点r（除p, q外），有：

∠prq mod π = 1/2 ∠pcq

（当r与c在pq异侧时，取外角，比如下图中的t点）

证明

情况1：pq经过c

当pq经过圆心c时，∠prq为直角，显然有：

∠prq = 1/2 ∠pcq

情况2：r点与c在pq同侧（c在三角形prq内部）

作辅助线如下图：

要证明结论1：α + β = 1/2 δ

由三角形内角和可知：

2 * (α + β + γ) = π （1）

2 * γ + δ = π （2）

组合（1）（2）式子可得：

δ = 2 * (α + β)

结论1得证。

当r点与c在pq同侧时（c不在三角形prq内部），由圆上的弦在同侧的圆周角相同也可以得到结论1。

情况3：r点与c在pq异侧

作辅助线如下图：

r’ 在圆上可以知，θ + ϕ = π, ϕ 对应的外角为 π + θ

由结论1可知：

(π + θ) mod π = θ = 1/2 ∠pcq

综上，圆周角定理得证。