用魔方揭秘阿贝尔群：一个有趣的数学之旅

用魔方揭秘阿贝尔群：一个有趣的数学之旅

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来源

1.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/163548084

2.

https://daily.zhihu.com/story/9772953

3.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/684029948

4.

https://www.cnblogs.com/apachecn/p/18193963

在数学的抽象世界里，阿贝尔群和非阿贝尔群就像两个性格迥异的朋友。一个喜欢按部就班，另一个则喜欢打破常规。今天，我们就用一个大家都熟悉的玩具——魔方，来直观理解这两个有趣的数学概念。

我们以最常见的3阶魔方为例，它有6个基本操作：

1. 前面旋转90°（F）
2. 后面旋转90°（B）
3. 左面旋转90°（L）
4. 右面旋转90°（R）
5. 上面旋转90°（U）
6. 下面旋转90°（D）

每个操作都是顺时针旋转90°（从正面看）。魔方的每个面有9个色块，总共54个色块。除去6个固定不动的中心块，我们有48个可移动的色块。

我们可以给这48个色块编号，通过编号的变化来表示魔方的状态。从复原状态到任意打乱状态，都可以看作是这48个数字的置换。所有可能的操作构成了一个庞大的集合，我们称之为魔方群。

魔方群到底有多大呢？虽然它只是48阶置换群S_48的子群，但元素数量依然惊人。具体计算很复杂，但结果令人咋舌：魔方群包含约4.3×10^19个元素，是一个20位数的庞大集合！

现在，让我们来看看魔方群的有趣之处。假设我们有这样一套神奇的操作，只要重复它足够多次，就能从任意状态还原魔方。这个假设听起来很美好，但现实却很骨感。

我们可以通过一个简单的实验来验证：先对前面顺时针旋转90°（F），再对右面顺时针旋转90°（R）；然后反过来，先对右面顺时针旋转90°（R），再对前面顺时针旋转90°（F）。你会发现，两次操作后的结果完全不同！

这个实验说明了魔方群的一个重要性质：它是一个非阿贝尔群。在数学中，阿贝尔群要求元素之间的运算满足交换律，即ab=ba。而魔方群中，操作的顺序直接影响最终结果，不满足交换律。

回到最初的问题：是否存在一套动作，只要重复它就能还原任意状态的魔方？答案是否定的。

原因很简单：假设存在这样的操作序列X，那么它生成的群将是一个循环群，因为循环群是由单个元素生成的，且满足交换律。但魔方群是一个非阿贝尔群，与循环群的性质相悖。因此，不存在这样的“万能操作”。

不过，有趣的是，虽然不存在单一的“万能操作”，但我们可以用两个基本操作（例如F和R）通过不断重复和组合，实现魔方的复原。这说明魔方群的生成元最小个数是2，即它的秩为2。

通过魔方这个生动的例子，我们直观地理解了阿贝尔群和非阿贝尔群的区别。阿贝尔群就像一个循规蹈矩的朋友，总是按部就班；而非阿贝尔群则像一个叛逆的艺术家，顺序不同结果就大不同。

下次当你拿起魔方时，不妨想想这些有趣的数学原理。虽然魔方看似只是一个简单的玩具，但它背后隐藏的数学世界却如此深奥而迷人。