中考数学：掌握尺规作图，轻松拿高分！

中考数学：掌握尺规作图，轻松拿高分！

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https://www.sohu.com/a/767576237_351781

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https://www.sohu.com/a/775509176_121290891

3.

https://m.qidian.com/ask/qurjdskeniq

4.

http://www.360doc.com/content/24/0221/19/76281130_1114750649.shtml

5.

https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/18129973

6.

https://www.u7py.com/news/202412/12/3503.html

7.

https://see.fandom.com/zh/wiki/%E3%80%90%E5%88%9D%E4%B8%AD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%80%91%E9%AB%98%E5%88%86%E6%94%BB%E7%95%A5%EF%BC%9A%E8%A7%A3%E9%A2%98%E6%8A%80%E5%B7%A7%E5%A4%A7%E6%8F%AD%E7%A7%98?variant=zh

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http://www.360doc.com/content/24/0521/09/40557149_1123887139.shtml

尺规作图是中考数学中的重要考点，也是许多同学感到困惑的难点。本文将从尺规作图的基本概念、基础作图技巧、典型例题分析等多个维度，帮助大家系统掌握这一知识点。

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度，只能用来作圆和圆弧。尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不可以度量的。

1. 作一条线段等于已知线段

步骤：

1. 用直尺画一条直线l
2. 在直线l上任意取一点A
3. 用圆规量取已知线段a的长度
4. 以点A为圆心，a的长度为半径画弧，交直线l于点B
5. 线段AB即为所求

2. 作一个角等于已知角

步骤：

1. 用直尺画一条射线OA
2. 以已知角的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交角的两边于点B和C
3. 以点O为圆心，相同的半径画弧，交射线OA于点D
4. 用量取BC的长度，以点D为圆心，BC的长度为半径画弧，交前一个弧于点E
5. 连接OE，∠AOE即为所求

3. 作已知线段的垂直平分线

步骤：

1. 以线段AB的两个端点为圆心，大于AB一半的长度为半径画弧，两弧相交于点C和D
2. 连接CD，CD即为AB的垂直平分线

4. 作已知角的角平分线

步骤：

1. 以角的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交角的两边于点A和B
2. 分别以点A和B为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点C
3. 连接角的顶点和点C，这条射线即为角的平分线

5. 过一点作已知直线的垂线

步骤：

1. 以点P为圆心，任意长度为半径画弧，交直线l于点A和B
2. 分别以点A和B为圆心，相同长度为半径画弧，两弧相交于点C
3. 连接PC，PC即为过点P的直线l的垂线

让我们通过一道2024年中考真题，来具体分析尺规作图在几何证明题中的应用。

题目：
如图，在△ABC中，AB=AC。以AB为直径的圆O交AC边于点D。过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F。连接BD。
（1）求证：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的长。

解题思路：

第1问：证明BD=BF

方法一：

• 分析条件：CF∥AB，因此∠ABF + ∠BFC = 180°（同旁内角互补）。AB=AC，所以△ABC是等腰三角形。BF是圆O的切线，故∠ABF = 90°。
• 证明过程：
  • 因为CF∥AB，所以∠ABC = ∠BCF（两直线平行，内错角相等）。
  • 在△BCD和△BCF中，有：
    • ∠BCD = ∠BCF（已证），
    • BC是公共边，
    • ∠BDC = ∠BFC = 90°（直径所对的圆周角为直角，且BF是切线）。
  • 根据AAS判定定理，可得△BCD≌△BCF。
  • 故BD=BF。

方法二：

• 构造辅助线：过点C作CH⊥AB于H，则四边形BFCH为矩形。
• 证明过程：
  • 在矩形BFCH中，BF=CH。
  • S_△ABC = (AB·CH)/2 = (AC·BD)/2，又因为AB=AC，所以CH=BD。
  • 综上，BD=BF。

第2问：计算BC的长

• 利用勾股定理：
  • 已知AB=10，CD=4，因为AB=AC=10，所以AD=AC-CD=6。
  • 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
    BD² + AD² = AB²，即BD² + 6² = 10²。
    解得BD=8。
• 进一步求解BC：
  • 在Rt△BCD中，再次应用勾股定理：
    BC² = BD² + CD² = 8² + 4² = 64 + 16 = 80。
    所以BC = √80 = 4√5。

综上所述，BC的长度为4√5。

1. 分析题目：仔细阅读题目，理解已知条件和求证目标。注意题目中的关键词，如“平行”、“垂直”、“相等”等，这些往往是解题的关键。

2. 选择作图方法：根据题目要求，选择合适的尺规作图方法。有时需要结合多个基础作图技巧，如作垂直平分线和作角平分线等。

3. 规范作图：作图时要保持线条清晰，圆弧准确。注意保留作图痕迹，不要随意擦除。

4. 避免常见错误：

   • 不要随意度量，尺规作图不允许使用刻度尺和量角器。
   • 作图时要严格按照步骤进行，不能跳步或省略关键步骤。
   • 注意区分“作图”和“画图”的区别，作图更强调规范性和准确性。

为了帮助大家更好地掌握尺规作图，下面提供几道经典练习题：

1. 已知线段a和b，用尺规作图作出线段c，使得c=a+b。

2. 已知∠α和∠β，用尺规作图作出∠γ，使得∠γ=∠α+∠β。

3. 已知三角形ABC，用尺规作图作出其外接圆。

4. 已知线段AB和点P，用尺规作图作出过点P且与AB平行的直线。

5. 已知正方形ABCD，用尺规作图将其四等分。

通过反复练习，大家一定能够熟练掌握尺规作图的技巧，在中考中轻松应对相关题目。记住，尺规作图不仅是一种解题工具，更是一种培养逻辑思维和空间想象能力的有效方法。希望大家在学习过程中，既能掌握具体技巧，又能培养数学思维能力。