统计学入门：方差齐性及其作用

统计学入门：方差齐性及其作用

方差齐性（Homogeneity of Variance 或 Equal Variance）指在不同的组或条件下，观测值的方差是否大致相等，这一概念在统计学中非常重要。在进行方差分析（ANOVA）时，方差齐性是重要的前提条件之一，因为方差齐性不仅确保了ANOVA的有效性，也保证了ANOVA结果的可信度。

方差及方差齐性

罗纳德·费舍尔于1918年提出了方差（variance ）的概念。方差是衡量一组数据点围绕其平均值的分散程度的指标，它量化了每个数据点与数据集平均值的偏离程度。

方差可分为总体方差和样本方差。总体方差是针对整个数据集的方差。对于总体方差，我们考虑的是整个数据集中所有数据点相对于总体均值的偏离程度。总体方差的计算公式如下：

其中，N 是总体数据点的数量，μ 是总体均值。

样本方差是从整体数据集中抽取的一部分数据计算得到的方差。样本方差是从样本数据中计算得到的，通常用于估计总体方差。样本方差的计算公式如下：

其中n是样本数据点的数量，x（上面还有一横）是样本均值。

总体方差和样本方差之间的区别在于计算公式中的除数。总体方差的除数是总体数据点的数量N，而样本方差的除数是样本数据点的数量n−1。因为样本方差要对总体方差进行估计，所以需要考虑样本数据与总体的差异性，使用n−1作为除数进行修正，这种修正称为自由度调整。

方差齐性指在不同的组或条件下，观测值的方差是否大致相等。例如，在下图中，黑线较尖，数据分布更靠近均值，方差较小；红线较平，数据分布更分散，方差较大。

图2 多组方差基本一致

理想情况下，当我们比较多组数据是否有明显差异时，我们希望分布基本一致，即方差大致相等。换成数学术语来说，即方差齐性。在下图中，我们可以看到这三个曲线除了均值之外，分布基本一致（曲线的形状）。

图3 小提琴图+箱图+散点图

当然，现实生活中没有那么完美。通常情况下，我们可以用小提琴图+箱图+散点图观察数据分布情况。

图3 小提琴图+箱图+散点图

在上图中，我们可以看出这两个分布不一致，左侧宽，右边较窄，不符合方差齐性的要求。下面让我们再来看两个实验。

实验1- 药物实验

在这个实验中，我们需要比较不同剂量的药物对某种疾病的治疗效果。我们进行了三种不同剂量的治疗，即低剂量、中剂量和高剂量，且每种剂量的治疗组中有相同数量的患者。我们收集了每个治疗组的疗效数据，即疗效的量化数据。

实验的具体步骤如下：

确定治疗组和样本数量：首先，我们确定了三种不同剂量的治疗组，即低剂量、中剂量和高剂量。然后，我们确保每个治疗组中有相同数量的患者，以确保样本量的一致性。

收集数据：我们收集了每个治疗组的疗效数据。这些得分在治疗后测量，用于评估治疗效果的好坏。

检验方差齐性：为了确定每个治疗组的数据方差是否相似，我们可以使用统计方法进行检验，例如Levene's检验或Bartlett's检验。

Levene's检验是一种用于检验多组之间方差是否相等的统计方法。Levene's检验的原假设是各组之间的方差相等，备择假设是至少有一个组的方差与其他组不同。

Levene's检验的步骤如下：

收集数据：首先，收集不同组之间的数据。

计算每组的均值：对于每个组，计算其样本数据的均值。

计算每个观察值与其组内均值的偏差的绝对值：对于每个观察值，计算它与所属组的均值之间的偏差的绝对值。这个步骤的目的是计算出每个观察值的离散程度。

根据偏差绝对值计算Levene's检验统计量：Levene's检验统计量通常基于偏差绝对值的方差。

进行假设检验：根据Levene's检验统计量，进行假设检验以确定各组之间的方差是否相等。通常，我们会计算一个p值，根据p值来判断是否拒绝原假设。

在实际应用中，可以使用统计软件或编程语言（如Python、R、SPSS等）来进行Levene's检验。

进行统计分析：如果方差齐性假设成立，我们可以继续进行统计分析，例如单因素方差分析（ANOVA），以比较不同剂量治疗组之间的疗效差异。如果方差齐性假设不成立，我们可能需要使用非参数方法或对数据进行转换后来进行分析。

图4 ANOVA示意

实验2

假如我们想比较两个国家（A国和B国）居民的收入有没有明显差异。假设在A国，收入分布相对较为均衡，大多数人的收入水平相对接近，收入差距较小；在B国，由于经济发展水平和社会结构的不同，收入分布相对较为不均衡，存在着较大的收入差距，即少数人的收入非常高，而大多数人的收入较低。

假设我们对A国和B国的1000个家庭进行了调查，记录了他们的年收入情况，在A国，收入分布可能会呈现出类似正态分布的形状，即大多数家庭的收入集中在中间值附近，形成一个相对对称的曲线。这意味着在A国，家庭收入的方差相对较小，因为大多数家庭的收入相对接近，收入差距较小。

而在B国，收入分布可能呈现出有偏分布的形状，即有少数家庭的收入非常高，形成一个长尾，而大多数家庭的收入相对较低。这意味着在B国，家庭收入的方差相对较大，因为收入差距较大，存在着极端值。

如下图所示，蓝线（A国）的分布为较对称的正态分布，橙线（B）则是不对称的，低收入人群较多，特别高的收入人群也不少。

图5 正态分布和偏分布

在这个例子中，A国和B国的居民收入分布具有不同的方差。因此，不符合方差齐性假设，所以不能用ANOVA。

结语

综上所述，方差齐性则是进行统计分析时需要考虑的重要因素之一。通过对方差及方差齐性的理解和应用，我们可以更准确地进行数据分析和推断，从而得出更可靠的结论。下一节我们将具体讲解另一个重要的概念“协方差”，敬请关注！

参考文献

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