变力做功：定积分在物理学中的神奇应用

变力做功：定积分在物理学中的神奇应用

引用

CSDN

等

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来源

1.

https://blog.csdn.net/tang7mj/article/details/138505470

2.

https://blog.csdn.net/2302_80018161/article/details/136880978

3.

https://blog.csdn.net/u013250861/article/details/138259563

4.

https://www.foubaike.com/changshi/jDm64MXNne.html

5.

http://www.lubanyouke.com/3058.html

6.

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E7%A7%AF%E5%88%86%E5%AD%A6

7.

http://www.cummins.vip/cpzs-5/

在物理学中，当力随着物体的位置而变化时，计算这种变力所作的功是一个重要的应用。功是力与物体移动的距离的乘积，并且力的方向与移动的方向相同。当力是常数时，这个计算相对简单；然而，当力随位置变化时，计算变力所作的功就需要用到定积分。

定积分可以理解为将一个区间分割成无数小段，在每个小段上用矩形面积近似曲边梯形面积，再求这些矩形面积之和的极限。具体来说，设函数 ( f(x) ) 在区间 ([a, b]) 上连续，将该区间分成 ( n ) 个子区间，选取每个子区间内的任意点计算函数值，并乘以小区间的长度，最后对所有结果求和并取极限，即得定积分：

[
\int_{a}^{b} f(x) , dx = \lim_{{n \to \infty}} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i
]

其中，( a ) 和 ( b ) 分别称为积分下限和上限，( f(x) ) 称为被积函数。

定积分的性质包括线性性、可加性（对区间的划分）、保号性等。计算方法主要有牛顿-莱布尼茨公式、换元法和分部积分法。

在物理学中，功的计算公式 ( W = F \cdot l \cdot \cos \alpha ) 只能用于恒力做功的情况。对于变力做功，不能直接使用这个公式。变力做功的计算方法多样，包括等效转换法、平均力法、图像法、微元法等。

用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比。在铁锤击第一次时，能把铁钉击入木块内1cm。问击第二次时，能击入多少深度？（设铁锤每次做功相等）

解析：考查对变力做功的计算及理论联系实际抽象建立模型的能力。方法：平均力法

设木块对铁钉的阻力为 ( F(x) = kx )，其中 ( x ) 是铁钉进入木块的深度，( k ) 是比例系数。则铁锤击第一次时所做的功为：

[
W_1 = \int_{0}^{0.01} kx , dx = \frac{1}{2} k (0.01)^2
]

设第二次击打能使铁钉再进入深度 ( \Delta x )，则第二次所做的功为：

[
W_2 = \int_{0.01}^{0.01 + \Delta x} kx , dx = \frac{1}{2} k \left[ (0.01 + \Delta x)^2 - (0.01)^2 \right]
]

由于每次做功相等，即 ( W_1 = W_2 )，代入上式得：

[
\frac{1}{2} k (0.01)^2 = \frac{1}{2} k \left[ (0.01 + \Delta x)^2 - (0.01)^2 \right]
]

解得：

[
\Delta x = 0.01 \sqrt{2} - 0.01 \approx 0.00414 , \text{m} = 0.414 , \text{cm}
]

除了计算变力做功，定积分在物理学中还有其他重要应用：

1. 水压力：在流体静力学中，水压力是一个重要的概念。特别是当物体处于不同水深时，不同点处的压强是不同的，这会影响到物体所受的总压力计算。水压力的计算可以通过定积分方法精确得出。

2. 引力的计算：在物理学中，牛顿万有引力定律描述了两个点质量间的相互作用力。这个力是基于它们的质量和距离的平方成反比的。然而，如果其中一个对象不是点质量，而是一个有扩展的物体，比如一根细棒，那么就需要通过积分计算整个对象对点质量的引力影响。

这些例子展示了定积分如何在计算不同物理情景下所做功的问题中发挥关键作用，从基本的力学到电磁学的应用都涵盖其中。