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倍数与因数的巧妙应用：从基础概念到解题技巧

创作时间:

作者:

@小白创作中心

倍数与因数的巧妙应用：从基础概念到解题技巧

引用

CSDN

等

来源

https://blog.csdn.net/qq_45638953/article/details/137263042

https://blog.csdn.net/weixin_57112913/article/details/136314344

https://tuseji.com/count-1-to-10.html

https://www.cnblogs.com/uacs2024/p/18602379

https://m.shanneng100.com/sys-nd/6092.html

http://www.peixun10.com/post/32821.html

https://www.wukongsch.com/blog/zh/math-speed-calculation-skills-post-32493/

在数学学习中，倍数与因数的概念是基础中的基础。无论是解决实际问题还是应对考试，理解这些基本概念都能帮助你更轻松地找到解题思路。让我们一起来探讨如何巧妙运用倍数与因数的知识点吧！

倍数与因数的基本概念

首先，让我们明确什么是倍数和因数：

如果整数a能被整数b整除，那么a就是b的倍数，b就是a的因数。
例如，12能被3整除，所以12是3的倍数，3是12的因数。

倍数和因数有一些重要的性质：

因数的个数是有限的，最小因数是1，最大因数是其本身。
倍数的个数是无限的，最小倍数是其本身，没有最大值。
找因数通常用乘法（成对找），找倍数则从自然数1开始依次相乘。

分解质因数的应用

分解质因数是倍数与因数概念的一个重要应用。它指的是将一个合数（非质数）表示为几个质数的乘积。

例如，360可以分解为(2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5)。

分解质因数的步骤如下：

从最小的质数2开始，看是否能整除目标数。
如果能整除，就将该质数作为因数之一，并用目标数除以这个质数，得到新的目标数。
重复上述过程，直到目标数变为1。

这个过程可以用代码实现：

public class PrimeFactorization {
    public static String primeFactorization(int n) {
        StringBuilder result = new StringBuilder();

        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            while (n % i == 0) {
                result.append(i).append(" ");
                n /= i;
            }
        }
        return result.toString().trim();
    }

    public static void main(String[] args) {
        int number = 360;
        String factors = primeFactorization(number);
        System.out.println("质因数分解结果：" + factors);
    }
}

输出结果：质因数分解结果：2 2 2 3 3 5

公因数匹配问题

公因数匹配问题是一个典型的运用倍数与因数概念的题目。例如，给定一个数字序列，找出其中存在大于1的公因数的两个数字。

例如，在序列{5, 3, 2, 6, 9}中，3和6存在大于1的公因数（3）。

解决这类问题的方法是：

对每个数字进行质因数分解
使用哈希表（map）存储每个质因数对应的数字下标
遍历哈希表，找到满足条件的最小下标对

具体代码实现如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <math.h>
using namespace std;
map<int, vector<int>> st; //st[i]表示i是其质因子的数的集合
int N = 0x3f3f3f3f;

//分解质因数，分解因数
void prime(int x, int index) {
  st[x].push_back(index);//注意这里本身也是自己的因数
    for (int i = 2; i <= sqrt(x) ; i++) {
        if (x % i)
            continue;
        st[i].push_back(index);//说明i是x的质因子，于是把x下标加入到st[i]中
        while (x % i == 0) {
            x /= i;
        }
        if (x > 1)
            st[x].push_back(index);//把i这个质因子一直除，剩下的也是x（原数）的质因子，把x（原数）的下标加入到st[x]（最后的余数）中
    }
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        prime(x, i);
    }
    pair<int, int> ans = {N, N};
    for (auto [x, y] : st) {
        if (y.size() < 2)
            continue;
        if (y[0] < ans.first) {
            ans = {y[0], y[1]};
        } else if (y[0] == ans.first) {
            if (y[1] < ans.second) {
                ans = {y[0], y[1]};
            }
        }
    }
    cout << ans.first << " " << ans.second << endl;
    return 0;
}