北师大版数学教你巧用勾股定理求圆半径
北师大版数学教你巧用勾股定理求圆半径
在初中数学中，勾股定理是一个非常重要的几何定理，它不仅在直角三角形中有着广泛的应用，还可以巧妙地用来解决圆的计算问题。特别是在求圆的半径时，勾股定理常常能发挥意想不到的作用。今天，我们就来学习如何利用勾股定理来求解圆的半径。
勾股定理与圆的关系
首先，让我们回顾一下勾股定理的基本内容：在一个直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。用公式表示就是：(a^2 + b^2 = c^2)，其中(c)是斜边长，(a)和(b)是两直角边的长度。
在圆的计算中，我们经常需要通过构造直角三角形来应用勾股定理。具体来说，有两种常见的方法：
连接圆心和切点：当题目中出现切线时，连接圆心和切点可以得到一个直角（因为半径垂直于切线），从而构造出直角三角形。
作直径：通过作圆的直径，我们可以利用直径所对的圆周角是直角的性质，从而构造出直角三角形。
例题解析
让我们通过一个具体的例子来理解如何应用勾股定理求圆的半径。
例题1：
如图所示，AB是圆O的直径，CD是弦，且CD⊥AB于点E。已知CD=8，AE=2，求圆O的半径。
解题思路：
- 首先观察到CD是弦且垂直于直径AB，根据垂径定理，E是CD的中点，因此CE=DE=4。
- 连接OC，OC是圆的半径，设OC=r。
- 在直角三角形OEC中，OE=OA-AE=r-2，CE=4，OC=r。
- 应用勾股定理：(OE^2 + CE^2 = OC^2)，即((r-2)^2 + 4^2 = r^2)。
- 解这个方程可以得到r的值。
具体计算过程：
[
(r-2)^2 + 4^2 = r^2 \
r^2 - 4r + 4 + 16 = r^2 \
-4r + 20 = 0 \
4r = 20 \
r = 5
]
所以，圆O的半径是5。
例题2：
如图所示，AB是圆O的直径，点C在圆上，CD⊥AB于点D，已知AD=3，BD=12，求圆的半径。
解题思路：
- 由于AB是直径，所以∠ACB是直角（直径所对的圆周角是直角）。
- 在直角三角形ACD和BCD中，我们可以分别应用勾股定理。
- 设圆的半径为r，则AB=2r，AD=3，BD=12，因此OD=r-3。
- 在直角三角形OCD中，OC=r，OD=r-3，CD可以通过勾股定理在三角形ACD或BCD中求得。
具体计算过程：
首先在直角三角形ACD中求CD：
[
AC^2 = AD^2 + CD^2 \
AC^2 = 3^2 + CD^2
]
在直角三角形BCD中：
[
BC^2 = BD^2 + CD^2 \
BC^2 = 12^2 + CD^2
]
由于AC和BC都是圆的半径，所以AC=BC=r。但是我们注意到，直接求CD比较复杂，不如直接在三角形OCD中应用勾股定理：
[
OC^2 = OD^2 + CD^2 \
r^2 = (r-3)^2 + CD^2
]
但是我们还没有CD的值，让我们回到最初的思路，通过AB的长度来简化问题：
AB=AD+BD=3+12=15，所以2r=15，r=7.5。
因此，圆的半径是7.5。
练习题
为了巩固所学知识，下面提供几道练习题供读者尝试：
- 如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，已知CD=10，BE=4，求圆的半径。
- 如图，AB是圆O的直径，点C在圆上，CD⊥AB于点D，已知AD=4，BD=9，求圆的半径。
- 如图，AB是圆O的直径，点C在圆上，CD⊥AB于点D，已知AD=5，BD=10，求圆的半径。
通过以上例题和练习题，我们可以看到，勾股定理在解决圆的计算问题中发挥着重要作用。关键是要善于构造直角三角形，并灵活运用垂径定理、直径所对圆周角是直角等性质。希望同学们通过练习，能够熟练掌握这一解题技巧。