二次函数的应用：解决几何图形中的最大面积问题

二次函数的应用：解决几何图形中的最大面积问题

二次函数是初中数学的重要内容之一，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还在解决实际问题中发挥着重要作用。例如，在几何图形中求最大面积的问题，就可以通过建立二次函数模型来解决。本文将通过几个具体的例题，帮助读者掌握如何应用二次函数的性质解决几何图形中的最大面积问题。

知识回顾——二次函数的图象及其性质

学一学

1. 用长为8m的铝材做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积S(m2)最大？最大透光面积是多少？（铝材宽度不计）

解：设窗框的高为$x$m，则宽为$(4-x)$m，透光面积$S=x(4-x)=-x^2+4x$

配方得：$S=-(x-2)^2+4$

当$x=2$m时，$S$最大，最大值为4$m^2$

答：窗框的高为2m，宽为2m时，透光面积最大，最大面积为4$m^2$

2. 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：设矩形的宽为$x$m，则长为$(60-2x)$m，菜园面积$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$

配方得：$S=-2(x-15)^2+450$

当$x=15$m时，$S$最大，最大值为450$m^2$

答：矩形的宽为15m，长为30m时，菜园面积最大，最大面积为450$m^2$

3. 小结：求解几何面积最值问题的一般步骤

• 建立有关面积的函数关系式；
• 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
• 在自变量的取值范围内确定最大（小）面积：可以利用顶点坐标求出最大（小）面积；也可以画出函数图象的简图，利用图象求解.

练一练

1. 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

注意：最值有时不在顶点处，则要利用自变量的取值范围来确定

2. 一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下列函数表达式$h=-5t^2+20t+1$，则小球距离地面的最大高度是（）

A．1米 B．5米 C．6米 D．7米

3. 某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园。其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。

（1）若平行于墙的一边的长为y米，直接写出y与x之间的函数表达式及其自变量x的取值范围；

（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；

（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。

展示提升：如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速