三角函数详解：从基础概念到实际应用
三角函数详解：从基础概念到实际应用
三角函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于几何学、物理学等多个领域。本文将从基本概念出发，详细介绍三角函数的定义、各类公式、反三角函数以及实际应用，帮助读者全面理解这一重要数学工具。
一、基本概念
三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设P为单位圆上的一点，以x轴为始边，OP为终边的角为θ，则：
- P的纵坐标称为θ的正弦(sine)，记作sinθ；
- P的横坐标称为θ的余弦(cosine)，记作cosθ；
- P的纵坐标与横坐标的比值称为θ的正切(tangent)，记作tanθ；
- P的横坐标与纵坐标的比值称为θ的余切(cotangent)，记作cotθ；
- P的半径与横坐标的比值称为θ的正割(secant)，记作secθ；
- P的半径与纵坐标的比值称为θ的余割(cosecant)，记作cscθ。
同角三角函数的关系
同角异名的三角函数之间有着许多基本的关系，可以为以下三类：
（1）商关系：
- tanθ = sinθ / cosθ
- cotθ = cosθ / sinθ
（2）倒数关系：
- sinθ * cscθ = 1
- cosθ * secθ = 1
- tanθ * cotθ = 1
（3）平方关系：
- sin²θ + cos²θ = 1
- 1 + tan²θ = sec²θ
- 1 + cot²θ = csc²θ
二、公式
三角函数有着数以百计的公式，这些公式使不同的三角函数间有了联系。
诱导公式
诱导公式可以将关于θ的三角函数转化为关于π-θ的三角函数，是最为基本的三角函数公式，可由三角函数的定义推导。常用的诱导公式有以下几组：
尽管诱导公式有很多组，但可以总结为“奇变偶不变，符号看象限”：当k为奇数时，用完公式后将变为关于π-θ的异名三角函数，当k为偶数时，用完公式后变为关于π-θ的同名三角函数；具体的正负要看π-θ的象限。
例如：
sin(π-θ)中k为奇数，因此变为异名三角函数，即：sin(π-θ) = sinθ。我们设θ在第一象限，则π-θ在第四象限，sin(π-θ)为正，而cos(π-θ)为负，因此我们得到sin(π-θ) = sinθ。
两角和差公式
两角和差公式是三角函数中极为重要的公式，可以用来描述两个角的和的三角函数值与两个角的三角函数值之间的关系。
我们来证明cos(α+β)，其它公式均可由这个式子结合诱导公式得出。在平面直角坐标系xOy中作单位圆O，以x轴为始边作角α和β，它们的终边与单位圆O的交点分别为P1和P2。则P1P2的长度为2sin(α-β)/2。因此cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ。
多倍角公式
多倍角公式探究了nθ的三角函数值与θ的三角函数值之间的关系，可直接由两角和差公式推得。
时的公式较为常用：
- sin2θ = 2sinθcosθ
- cos2θ = cos²θ - sin²θ
- tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)
由余弦的二倍角公式还可以推出半角公式：
- sin²(θ/2) = (1 - cosθ) / 2
- cos²(θ/2) = (1 + cosθ) / 2
对于一般的n，可以递推求出相应的表达式。递推公式如下：
辅助角公式
辅助角公式可以将同角异名的三角函数之和转化为单个三角函数，在求最值时有着广泛的应用。其推导过程如下：
Asinθ + Bcosθ = √(A² + B²)sin(θ + φ)，其中tanφ = B/A。
例：求f(x) = sinx + √3cosx的取值范围。解：由辅助角公式可知f(x) = 2sin(x + π/3)。
万能公式
万能公式可将关于一个角度的不同三角函数值化为关于同一三角函数的表达式，可由二倍角公式证明，常用于减少式子中的变量。
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和差化积、积化和差
和差化积可将两个不同的三角函数之和化为乘积，积化和差可将乘积化为和。这两组公式都极为重要，尤其是在较为困难的问题和几何问题中。这两组公式都可以由两角和差公式推导而得。
三角等差公式
三角等差公式是多个等差的三角函数之和的计算公式，可由积化和差、和差化积证明：
类似的，可以求出。
关于三角形三个内角的三角函数等式
设A、B、C是三角形的三个内角，即A + B + C = π，则：
正余弦定理
正弦定理和余弦定理是平面几何中非常重要的定理，在几何计算中有着广泛的应用。
在△ABC中，记a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，外接圆半径为R，则有：
正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R。
余弦定理：a² = b² + c² - 2bccosA。
三、反三角函数
反三角函数是出于表示某类方程的解的需要而引入的，常见的有反正弦函数、反余弦函数和反正切函数。
反正弦函数的图像
反正弦函数
函数y = sinx的反函数记作y = arcsinx，称为反正弦函数。反正弦函数的基本信息如下：
- 定义域：[-1, 1]；
- 值域：[-π/2, π/2]；
- 单调递增区间：[-1, 1]；
- 奇偶性：奇；
- 对称中心：(0, 0)。
反余弦函数
函数y = cosx的反函数记作y = arccosx，称为反余弦函数。反余弦函数的基本信息如下：
- 定义域：[-1, 1]；
- 值域：[0, π]；
- 单调递减区间：[-1, 1]；
- 对称中心：(0, π/2)。
反正切函数
函数y = tanx的反函数记作y = arctanx，称为反正切函数。反正切函数的基本信息如下：
- 定义域：(-∞, +∞)；
- 值域：(-π/2, π/2)；
- 单调递增区间：(-∞, +∞)；
- 奇偶性：奇；
- 对称中心：(0, 0)。
反正切函数的图像
四、应用
三角换元
有时一些复杂的代数结构在将其中的变量换元成三角函数后结构将大大简化，从而解决问题。常见的三角换元有如下几种：
- 若a² + b² = 1，记a = sinθ，b = cosθ，则原式可简化。
- 若a² - b² = 1，记a = secθ，b = tanθ，则原式可简化。
- 若a² + b² = c²，记a = ccosθ，b = csinθ，则原式可简化。
- 若正实数a、b满足a² + b² = 1，则存在θ，使得a = cosθ，b = sinθ。
- 若正实数a、b满足a² - b² = 1，则存在θ，使得a = secθ，b = tanθ。
例：解方程：x² + y² = 1，x + y = 1。
解：容易验证当x > 1或y > 1时，等式左边大于等式右边，方程无解。因此可设x = cosθ，y = sinθ，其中θ ∈ [0, π/2]，原方程即为cosθ + sinθ = 1，进一步化简得到θ = π/4。再将所有可能的θ列出并代回原式验证，可以解出x = y = √2/2。
例：设正实数a、b、c满足a² + b² = c²，求证：a/c + b/c ≤ √2。
证：可设a = ccosθ，b = csinθ，其中θ是三角形的内角，则只需证cosθ + sinθ ≤ √2。而cosθ + sinθ = √2sin(θ + π/4) ≤ √2。
三角函数与几何
很多几何问题都需要利用三角函数解决，一些著名的几何定理也涉及到三角函数，如：角元梅涅劳斯定理、角元塞瓦定理、三弦定理、张角定理等。下举两例：
角元塞瓦定理：在△ABC中，D、E、F分别是BC、CA、AB上的一点，则AD、BE、CF三线共点等价于(sin∠BAD/sin∠DAC) * (sin∠CBE/sin∠EBA) * (sin∠ACF/sin∠FCB) = 1。
三弦定理：设A、B、C、D是平面上的四个点，则A、B、C、D四点共圆等价于sin∠BAC/sin∠BDC = sin∠ABC/sin∠ADC。
三角函数的推广
在高等代数中，三角函数可表示为指数形式：
- sinθ = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / 2i
- cosθ = (e^(iθ) + e^(-iθ)) / 2
- tanθ = (e^(iθ) - e^(-iθ)) / (e^(iθ) + e^(-iθ))
其中θ是任意复数。