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共线向量让CG更精准！

创作时间:

作者:

@小白创作中心

共线向量让CG更精准！

引用

CSDN

等

来源

https://blog.csdn.net/qw8704149/article/details/116543685

https://zhuanlan.zhihu.com/p/449250793

https://blog.csdn.net/qq_41860752/article/details/109276515

https://blog.csdn.net/qq_45449625/article/details/140345957

https://blog.csdn.net/Draonly/article/details/121872986

https://blog.csdn.net/wjjc1017/article/details/135171176

https://www.sohu.com/a/680362339_100103806

https://www.gameres.com/669787.html

https://blog.csdn.net/zaf0516/article/details/125782878

10.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/134148694

11.

http://www.lubanyouke.com/22895.html

12.

https://www.cnblogs.com/kekec/p/16421798.html

在计算机图形学（CG）领域，共线向量的概念发挥着至关重要的作用。无论是游戏开发中的物体定位，还是动画制作中的轨迹控制，共线向量都提供了精准的数学工具。本文将深入探讨共线向量在CG中的具体应用，以及其背后的数学原理。

共线向量的基础概念

在数学中，共线向量指的是方向相同或相反的非零向量。即使这些向量不直接位于同一直线上，只要它们的方向满足上述条件，仍被称为共线向量。共线向量的核心特征是它们可以通过线性组合相互表示，即如果两个向量 (\vec{a}) 和 (\vec{b}) 是共线的，则存在实数 (k) 使得 (\vec{a} = k \cdot \vec{b})。

游戏开发中的应用

在游戏开发中，共线向量的概念被广泛应用于物体位置和方向的判断。通过向量的点乘和叉乘运算，开发者可以精确地判断目标物体相对于玩家的位置。

点乘的应用

点乘（Dot Product）可以用来判断两个向量之间的相对方向。具体来说，点乘的结果可以告诉我们目标物体是在玩家的前方还是后方。

当点乘结果大于0时，表示目标在前方
当点乘结果小于0时，表示目标在后方
当点乘结果等于0时，表示目标在侧面

using UnityEngine;
public class Example : MonoBehaviour
{
    public Transform cubeRed; // 敌人
    public Transform cubeBlue; // 玩家自身

    void Update()
    {
        if (Input.GetKeyDown(KeyCode.Space))
        {
            CalculateDot();
        }
    }
    private void CalculateDot()
    {
        Vector3 relativePosition = cubeRed.position - cubeBlue.position;
        Vector3 cubeForward = cubeRed.forward;
        float result = Vector3.Dot(cubeForward, relativePosition);
        Debug.Log($"点积的结果：{result}");
    }
}

叉乘的应用

叉乘（Cross Product）则用于判断目标物体相对于玩家的左右位置。叉乘的结果是一个向量，其方向垂直于原始两个向量构成的平面。在Unity中，由于使用的是左手坐标系，因此需要使用左手法则来判断方向。

当叉乘结果的y分量大于0时，表示目标在右侧
当叉乘结果的y分量小于0时，表示目标在左侧

private void CalculateCross()
{
    Vector3 relativePosition = cubeRed.position - cubeBlue.position;
    Vector3 cubeForward = cubeBlue.forward;
    Vector3 result = Vector3.Cross(cubeForward, relativePosition);
    Debug.Log(result.y);
}

动画制作中的应用

在动画制作中，共线向量用于精确控制物体的运动轨迹。通过向量的坐标表示和线性运算，动画师可以确保物体按照预期的路径移动。

例如，在使用Manim动画引擎时，可以通过向量的坐标表示来创建和控制动画元素的位置。如下代码展示了如何在三维空间中定义向量并进行动画展示：

class ThreeDSceneExample01(ThreeDScene):
    def construct(self):
        axes = ThreeDAxes(x_length=3, y_length=3, z_length=3)
        self.set_camera_orientation(phi=45 * DEGREES, theta=30 * DEGREES)
        vector = Arrow3D(start=ORIGIN, end=np.array([2, 2, 2]), color=RED)
        self.add(axes, vector)

技术实现与算法原理

共线性检测的算法原理主要基于向量的点乘和叉乘运算。对于两个向量 (\vec{a}) 和 (\vec{b})，如果它们共线，则满足以下条件：

点乘条件：(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta)，其中 (\theta) 是两个向量的夹角。如果 (\theta = 0) 或 (\theta = \pi)，则 (\cos\theta = \pm1)，表明向量共线。
叉乘条件：(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0})。如果两个向量共线，它们构成的平行四边形面积为0，因此叉乘结果为零向量。

在实际开发中，由于浮点数运算的精度问题，通常会设定一个阈值来判断是否共线，而不是严格等于0或1。