矩阵乘法为什么是这样定义的？

矩阵乘法为什么是这样定义的？

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矩阵乘法的运算规则看似怪异、烦琐，但其背后却有着深刻的数学原理。本文从线性算子的复合出发，自然引出矩阵乘法规则，帮助读者理解这一重要数学概念。

矩阵的基本概念

矩阵是由数按照一定规则排列而成的矩形数组，最早由英国数学家西尔维斯特于1850年引入。矩阵理论的系统发展始于19世纪中叶，主要奠基者包括西尔维斯特、凯莱和弗罗贝尼乌斯等数学家。矩阵理论在工程技术和社会科学中有着广泛的应用。

矩阵乘法的定义

矩阵乘法的定义看似复杂，但其背后有着深刻的数学原理。为了理解这一定义，我们需要先了解函数和线性算子的概念。

函数与线性算子

函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的规则。在线性代数中，我们主要关注欧几里得空间之间的线性算子。线性算子是一种特殊的函数，它满足以下两个条件：

1. 加法性：T(x + y) = T(x) + T(y)
2. 数乘性：T(ξx) = ξT(x)

其中，x和y是向量，ξ是标量。

矩阵表示

每个线性算子都可以用一个矩阵来表示。例如，一个3x3的矩阵可以表示一个将三维空间映射到三维空间的线性算子。矩阵乘法的定义正是基于线性算子的复合。

复合线性算子与矩阵乘法

复合函数是将一个函数的输出作为另一个函数的输入。在线性代数中，复合线性算子的矩阵表示就是两个矩阵的乘积。具体来说，如果S和T是两个线性算子，它们的矩阵表示分别为A和B，那么复合算子T∘S的矩阵表示就是矩阵乘积AB。

一个具体的例子

为了更好地理解这一概念，我们来看一个具体的例子。假设S和T是两个线性算子，它们的矩阵表示分别为：

通过计算可以验证，矩阵AB的每一列都对应于复合算子T∘S作用于标准基向量的结果。这说明了矩阵乘法的定义确实反映了线性算子复合的性质。

结论

矩阵乘法的定义虽然看似复杂，但其背后有着深刻的数学原理。通过线性算子的复合，我们可以自然地引出矩阵乘法规则。理解这一原理不仅有助于记忆矩阵乘法的计算规则，更重要的是能够帮助我们更好地理解线性代数的核心概念。

本文原文来自腾讯新闻，由玉林师范学院数学与统计学院副教授朱慧坚和美国南密西西比大学数学系教授丁玖共同撰写。