欧几里得对“素数有无穷多个”的证明及其有效性

欧几里得对“素数有无穷多个”的证明及其有效性

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1.

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本文讨论了欧几里得对“素数有无穷多个”的证明及其有效性。文章详细介绍了欧几里得的证明方法，并引用了多个权威来源进行佐证。此外，文章还探讨了演绎证明的性质和局限性，以及完全归纳推理的分类问题。

欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

1.1 欧几里得的证明

公元前 3世纪，欧几里得（Euclid, Eukleides）证明：
已知素数的连乘积加1，是“新素数”或“以新素数为因子”。

1.2 一些相关出处

• 《不列颠百科全书》：欧几里得的《几何原本》中，Book VII-IX包含了数论的基本元素。其中，Book IX证明了素数有无穷多个。
• 《数学百科全书》：欧几里得的证明方法是通过构造一个数N，使得N是已知素数的连乘积加1。如果N是素数，则它是一个新的素数；如果N是合数，则它的素因数一定不在已知的素数集合中。

1.3 讨论：欧几里得对“素数有无穷多个”研究的有效性

欧几里得的证明方法具有很高的逻辑严谨性和创造性。通过构造性的方法，他成功地证明了素数的无穷性，这一证明方法至今仍被广泛认可和使用。

相关的逻辑问题

2.1 演绎证明的结论，是前提（假设）蕴含的

演绎推理的结论早已包含在前提之中，推理过程只不过是把前提中隐含的信息明朗化，是对前提中已有内容的某种重复。因此，演绎推理推不出新知识。

2.2 完全归纳推理不属于归纳推理范围，属于演绎推理的范围

完全归纳推理是归纳推理的极限形式，现代逻辑学认为它属于演绎推理的范围，是演绎推理的逆向归纳法。

2.3 《Encyclopedia of Mathematics》的词条“Proof”

证明是根据某些规则进行的推理，以证明某个命题；它基于初始陈述（公理）。任何证明都是相对的，因为它是基于某些未经证明的假设。

参考资料

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10. 科普中国，2021-12-31，-科学百科知识第7期丨什么是素数？数学家为什么对它们感兴趣？
11. 科普中国，2021-12-31，素数定理
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13. 科普中国，2021-12-31，广义素数定理
14. 科普中国，2021-12-31，强素数
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16. 归纳推理的极限形式。又称完全归纳法。完全归纳推理由前提到结论之间是一种必然性推理，所以现代逻辑学认为完全归纳推理不属于归纳推理范围，属于演绎推理的范围，是演绎推理的逆向归纳法。