高考真题中的涂色问题解析

高考真题中的涂色问题解析

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来源

1.

https://blog.csdn.net/2301_79704526/article/details/139548552

2.

https://blog.csdn.net/madman188/article/details/9814145

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/617904729

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https://blog.csdn.net/weixin_46147758/article/details/103923829

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/300045883

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https://blog.csdn.net/qq_30016869/article/details/124217199

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https://www.douyin.com/zhuanti/7304937505390987302

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https://www.bilibili.com/video/BV1JH4y1k76c/

涂色问题在高考数学中是一个常见且重要的考点，主要考察学生的逻辑思维能力和组合数学知识。这类问题通常要求对区域、点或线段进行着色，同时满足特定条件（如相邻部分颜色不同），并计算所有可能的涂色方案数。本文将通过具体的高考真题，详细解析涂色问题的解题方法和技巧。

区域涂色问题是涂色问题中最常见的一类，通常需要考虑颜色的使用情况和区域的相邻关系。我们通过一个具体的高考真题来说明解题方法。

例题1：用5种颜色给4个区域涂色，每区域一种颜色，相邻区域颜色不同，求涂色方法总数。

解析：

1. 使用3种颜色时，先选3种颜色（(A_4^3)），再确定区域2和4同色及区域3和5同色，共有(A_4^3=24)种方法。
2. 使用4种颜色时，分两种情况：
   • 区域2和4同色或区域3和5同色，共有(2 \times A_4^4 = 48)种；
   • 区域2和4不同色且区域3和5也不同色，共有(A_4^4 = 24)种。
3. 总计有(24 + 48 + 24 = 96)种涂色方法。

点的涂色问题主要关注顶点的着色，需要考虑相邻顶点的颜色关系。我们通过一个高考真题来说明解题方法。

例题2：将四棱锥S-ABCD的每个顶点染色，同一棱两端颜色不同，可用5种颜色，求不同的染色方法总数。

解析：

1. 使用3种颜色时，先选顶点S的颜色（5种选择），再从剩余颜色中选2种涂底面（(A_4^2)），此时A与C、B与D必须同色，共(5 \times A_4^2 = 60)种。
2. 使用4种颜色时，先选顶点S的颜色（5种），再选A与B的颜色（(A_4^2)），最后为D或C选色（2种），另一端自动确定，共(5 \times A_4^2 \times 2 = 240)种。
3. 使用5种颜色时，直接排列5个顶点的颜色，共(A_5^5 = 120)种。
4. 因此，总共有(60 + 240 + 120 = 420)种染色方法。

线段涂色问题主要关注相邻线段的颜色关系，通常可以通过递推关系来简化计算。我们通过一个高考真题来说明解题方法。

例题3：用4种颜色涂矩形ABCD的四条边，每边一色，相邻边颜色不同，求涂色方法总数。

解析：

1. 先固定AB和BC的颜色（(4 \times 3 = 12)种），然后考虑CD和DA：
   • 若CD与AB同色，则DA有3种选择；
   • 若CD与AB不同色，CD有2种选择，DA也有2种选择。
2. 综上，共有(12 \times (3 + 2 \times 2) = 84)种涂色方法。

1. 分类讨论：根据颜色使用数量或特殊位置（如相对顶点）是否同色进行分类。
2. 逐步分析：按照一定的顺序（如区域编号）逐一确定各部分的颜色。
3. 递推关系：对于某些规律性问题（如线段涂色），可以建立递推公式简化计算。

涂色问题不仅考验逻辑思维，还涉及排列组合等知识，是培养解决问题能力的良好素材。掌握上述方法后，可以尝试更多变式题目以加深理解。