排列组合中的除序难题，你GET了吗？

排列组合中的除序难题，你GET了吗？

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/459137995

2.

https://blog.csdn.net/qq_33574890/article/details/105280081

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https://zhidao.baidu.com/question/544771292.html

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https://www.zhihu.com/question/532404966

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https://www.zhihu.com/question/468982643

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https://www.jingxuanqu.com/csp/math/permutation-and-combination/examples.html#%E5%A4%8D%E4%B9%A0%E5%B7%A9%E5%9B%BA

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https://oi-wiki.org/math/combinatorics/combination/

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排列组合是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学以及日常生活中的各种计数问题。在解决排列组合问题时，我们经常会遇到需要消除重复计算的情况，这就是所谓的"除序问题"。本文将从基础概念出发，详细讲解除序问题的四种主要类型及其应用，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

除序问题，顾名思义，就是在计算排列组合时需要消除某些重复的顺序。这种问题在实际应用中非常常见，比如在人员分配、物品排列等场景中。根据重复产生的原因，除序问题主要分为以下四种类型：

1. 定序除序：当部分元素的顺序固定时，需要消除这些元素内部的排列。
2. 相同除序：当有完全相同的元素时，它们之间的排列是重复的，需要消除。
3. 均分除序：在将元素均等分配到不同组时，如果组与组之间没有区别，需要消除重复的分配方式。
4. 合并除序：结合了定序和相同除序的特点，通常出现在先分组再分配的问题中。

让我们通过具体的例子来理解每种除序问题的解法。

定序除序

例题1：5个人排队，其中2名女生必须按照身高从高到低排列，求不同的排列方法数。

解法：

• 首先计算5个人的全排列：(A_5^5 = 120)种。
• 由于2名女生的顺序固定，需要消除她们之间的排列：(A_2^2 = 2)种。
• 因此，最终的排列方法数为：(\frac{A_5^5}{A_2^2} = \frac{120}{2} = 60)种。

相同除序

例题2：有2个黑球、3个白球和4个红球，共9个球排成一行，求不同的排列方法数。

解法：

• 如果所有球都不同，全排列为(A_9^9)。
• 由于存在相同颜色的球，需要消除它们之间的重复排列：(A_2^2 \cdot A_3^3 \cdot A_4^4)。
• 因此，最终的排列方法数为：(\frac{A_9^9}{A_2^2 \cdot A_3^3 \cdot A_4^4} = \frac{9!}{2!3!4!})种。

均分除序

例题3：将10个人分成4人、3人和3人的三组，求不同的分组方法数。

解法：

• 首先不考虑职位限制进行分组：(C_{10}^4 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3)。
• 由于两个3人组没有区别，需要消除重复的分组方式：(A_2^2)。
• 因此，最终的分组方法数为：(\frac{C_{10}^4 \cdot C_6^3 \cdot C_3^3}{A_2^2})种。

合并除序

例题4：从6男2女共8名学生中选出队长1人、副队长1人和普通队员2人，要求服务队中至少有1名女生，求不同的选法数。

解法：

• 分两种情况考虑：1名女生和2名女生。
• 每种情况都需要先选择人员，再分配角色，最后消除重复的分配方式。
• 具体计算过程较为复杂，但核心思想是将分组和分配结合起来考虑。

除序问题不仅仅存在于数学题目中，它在现实生活中也有广泛的应用。比如：

• 人员分配：在安排工作小组时，如果某些成员的职责相同，就需要考虑相同除序。
• 排队问题：在安排排队顺序时，如果某些人的相对位置固定，就需要考虑定序除序。
• 物品排列：在摆放物品时，如果有些物品完全相同，就需要考虑相同除序。

通过掌握除序问题的解法，我们不仅能够解决数学题目，还能更好地应对现实生活中的各种计数问题。

除序问题是排列组合中的一个重要概念，通过定序除序、相同除序、均分除序和合并除序这四种类型，我们可以有效地解决各种复杂的计数问题。无论是数学竞赛还是日常生活，掌握这些方法都能帮助我们更准确地计算和决策。希望本文能帮助读者更好地理解除序问题，并在实际应用中灵活运用。