中考数学不同题型解题思路初探——以浙江省杭州市中考数学试题为例
中考数学不同题型解题思路初探——以浙江省杭州市中考数学试题为例
中考是初中学生的第一次人生大考，其重要性不言而喻。在分秒必争的考场上，要想快速、准确地答好题，取得满意的成绩，除了要具备扎实的基础知识外，还要选择合理的解题途径，掌握一些行之有效的答题方法与技巧。本文将从选择题、填空题和解答题这三种题型入手，以2022年浙江省杭州市的部分中考试题为例，对中考数学常见的解题思路进行分析探究。
1 选择题常见的答题思路与技巧
选择题在各地市的中考试题中数量多（10题左右）、分值高（30分左右），在中考中占有十分重要的地位。因此，要想在中考中发挥好就必须要答好选择题。解答选择题不外乎“直接求解”与“间接解决”两种思路，具体的答题方法有直接法、验证法、排除法、数形结合法等。下面以验证排除法为例进行分析探究。
验证排除法，即根据已知条件，把分析或计算得出的结果与各选择支逐一验证、排除，即可选出符合题意的答案。
例1（2022·浙江省杭州市中考第5题） 如图1，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则( )。
图1
A.线段CD是△ABC的AC边上的高线
B.线段CD是△ABC的AB边上的高线
C.线段AD是△ABC的BC边上的高线
D.线段AD是△ABC的AC边上的高线
解析： 因为线段CD是△ABC的AB边上的高线，所以A选项错误，B选项正确。因为线段AD是△ACD的CD边上的高线，所以C，D选项错误。故应选：B。
思路与技巧： 本题考查了对三角形高线定义的准确理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键。解答过程充分展示了理解概念、验证、排除、数形结合等多种方法综合运用的技巧。
2 填空题常见的答题思路与技巧
与选择题相比，填空题缺少选择支的信息，与解答题相似。虽然不需要解答过程，但解答过程的每一步都要保证准确，一步失误就会导致全题零分，所以难度较大。但由于填空题常用来考查基本概念、基本运算，大多能在课本中找到原型或背景，所以解题的思路可以参照选择题与解答题，在“观察、理解、分析、转化”思想的指导下，根据填空题题干的具体要求，分析隐含条件，谨慎作答。下面以数形结合法为例，进行分析探究。
数形结合法适用于具有明显几何特征的填空题。借助图形进行直观分析，再辅以简单运算即可得出正确答案。
例2（2022·浙江省杭州市中考模拟冲刺试题第16题） 在等腰直角三角形ABC中，已知∠ABC=90°，P是△ABC内一点，使PA=11，PB=6，PC=7，则边AC的长为______．
解析： 如图2，将△CPB绕点B逆时针旋转90°得△AEB，连接PE。因为△CPB≌△AEB，所以AE=CP=7，BE=BP=6，∠EBP=90°。所以∠BEP=∠BPE=45°。
图2
思路与技巧： 本题考查了解直角三角形问题，解题的技巧表现在根据题意作图，将抽象、复杂的数量关系形象、直观地揭示出来，“以形助数”“数形结合”，解题过程中灵活运用了勾股定理。
3 解答题常见的答题思路与技巧
数学中考的三种题型中，解答题的题量虽然比不上选择题与填空题，但其主要由综合问题组成，包括计算题、证明题和应用题等，占分比重与难度最大，得分率与失分率也最高，所以熟练掌握答题技巧显得尤为重要。
答题时，要从已知条件出发，仔细审题，在全面、准确理解题意，深挖其隐含条件的基础上，运用有关数学知识进行推理、演算或证明，最后达到所要求的目标；同时要将整个解答过程条理清晰、完整、逻辑严密地陈述清楚。
3.1 构造函数法
函数类综合题在解答题中属于高频考点，解答这类问题的基本思路是，根据问题的条件，通过构造函数，将问题转化为函数性质的研究，也是一种常用的解题方法。
例3（2022·浙江省杭州市中考第22题） 设二次函数y1=2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点。
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴；
（2）若函数y1的表达式可写成y1=2(x-h)2-2（h是常数）的形式，求b+c的最小值。
（2）由题意，得y1=2x2-4hx+2h2-2。因为y1=2x2+bx+c，则b=-4h，c=2h2-2，所以b+c=2h2-4h-2=2(h-1)2-4，当h=1时，b+c取得最小值-4。
思路与技巧： 本题考查了待定系数法、二次函数的最值与对称性，要求熟练掌握二次函数的最值，对称性是解题的关键。其中第（1）问只需要利用待定系数法计算即可；第（2）问根据等式的性质，构造b+c关于h的二次函数，即可求出b+c的最值。
3.2 转化法
这里的转化法是指运用“数形结合”思想，把几何问题转化为代数问题（或把代数问题转化为几何问题）来解决。这是一种应用广泛且有效的间接解题思路。
例4（2022·浙江省杭州育才中学模拟卷第21题） 如图3，在长方形ABCD中，DC=5 cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△AED折叠，使点D恰好落在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30 cm2，求折叠的△ADE的面积。
图3
解析： 设DE=x，由S△ABF=30，AB=5，得BF=12。由图形翻折，可知△ADE≌△AFE，所以AF=AD=13，EF=x，则FC=1，EC=5-x。由勾股定理得x2=(5-x)2+12，解得x=2.6(cm)。
思路与技巧： 本题主要考查轴对称的基本性质、勾股定理、全等三角形等。把几何问题转化为代数问题（解方程）是解决此类题型的主要思路。图形折叠后，需要从折叠中分析出全等形才能充分利用已知条件，而要列出含有未知数的方程，关键技巧就在于能否找到等量关系。
3.3 分类讨论法
有些数学运算，由于未知数的变化会导致出现不同的结果，因此需要对未知数进行分类讨论，才能保证解题的完整。
例5（2022·浙江省杭州东南中学模拟卷第17题） 解方程x2+|x+1|-1=0。
解析： （1）当x+1≥0，即x≥-1时，原方程可化为x2+x+1-1=0，即x2+x=0，解得x1=0，x2=-1。
（2）当x+1<0，即x<-1时，原方程可化为x2-(x+1)-1=0，即x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2。因为x<-1，所以x1=-1。
综上所述，原方程的解是x1=0或x2=-1。
思路与技巧： 本题考查绝对值方程的解法。解答这类问题的思路是把含有绝对值的方程转化为一般方程，即去掉绝对值符号，将其变为不含绝对值符号的方程再求解。因此，根据绝对值的定义，以x+1≥0与x+1<0为标准进行分类讨论，最后要注意验根。
上文中结合实例对中考数学的选择题、填空题和解答题进行了初步探讨，总结了一些常用的解题思路与方法。不同的题型有着不同的答题技巧，当然，这些答题技巧并不是独立存在的，它们大多是无形地渗透在各类题型的各个解题环节中，凭借这些技巧可以帮助考生适当减少思考与答题的时间，提高准确率。但是，真正有效的答题方法与技巧是建立在扎实的数学基本功之上的，这要靠学生在平时的学习中多练习、勤思考、善总结。因此，教师在教学中要花更多的精力与时间去夯实学生的基础，引导学生勤奋学习，刻苦钻研，不断提高；切不可舍本逐末，单纯地把学会几招临场技巧当做提高中考成绩的救命稻草。
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