多项式\(f=x^4+4ax+b\)有重根的条件分析

多项式\(f=x^4+4ax+b\)有重根的条件分析

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当多项式(f(x) = x^4 + 4ax + b)满足什么条件时，它会有重根？这是一个涉及多项式理论的有趣问题。我们可以通过分析(f(x))与其导数(f'(x))的最大公因式来解决这个问题。

首先，我们需要理解辗转相除法。辗转相除法是一种用于确定两个多项式最大公因式的算法。具体来说，通过反复进行除法运算，直到余数为零，此时的除数就是最大公因式。

在这个问题中，我们先让(f(x))除以(f'(x))得到余式(r_1(x))，再用(r_1(x))除以(f'(x))得到余式(r_2(x))。

多项式(f(x))有重根的充要条件是(f(x))与(f'(x))不互素，即它们有次数大于零的最大公因式。当最大公因式的次数为(k)时，可以推断出有(k)重根。

具体分析如下：

1. 当(a = b = 0)时，直接得出最大公因式的次数为3，这意味着在这种情况下(f(x))可能有三重根。

2. 当(a \neq 0)时，通过计算余式(r_2(x))，并令其为零，即(27a^4 - b^3 = 0)，得出此时(f(x))与(f'(x))有二次的最大公因式，也就表明在这种条件下(f(x))可能有二重根。