相互独立事件的概率计算与性质分析

相互独立事件的概率计算与性质分析

相互独立事件是概率论中的一个重要概念，它描述了两个或多个事件之间的一种特殊关系。本文将从定义、性质、计算方法以及与其他事件的关系等方面，全面介绍相互独立事件的相关知识。

相互独立事件同时发生的概率

1. 两个相互独立事件同时发生，记做A·B，P（A·B）＝P（A）·P（B）。
2. 若A1，A2，…An相互独立，则n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P（A1·A2·…·An）＝P（A1）·P（A2）·…·P（An）。

相互独立事件的定义

1. 如果事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
2. 若A，B是两个相互独立事件，则A与 ， 与 ， 与B都是相互独立事件。

相互独立事件同时发生的概率计算

1. 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；
2. 正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算。

特殊事件

1. 必然事件记作Ω，样本空间Ω也是其自身的一个子集，Ω也是一个“随机”事件，每次试验中必定有Ω中的一个样本点出现，必然发生。
2. 不可能事件记作Φ，空集Φ也是样本空间的一个子集，Φ也是一个特殊的“随机”事件，不包含任何样本点，不可能发生。

事件关系

1. 事件A是事件B的子事件，事件A发生必然导致事件B发生，事件A的样本点都是事件B的样本点，记作A⊂B。
2. 若A⊂B且B⊂A，那么A=B，称A和B为相等事件，事件A与事件B含有相同的样本点。
3. 和事件发生，即事件A发生或事件B发生，事件A与事件B至少一个发生，由事件A与事件B所有样本点组成，记作A∪B。
4. 积事件发生，即事件A和事件B同时发生，由事件A与事件B的公共样本点组成，记作AB或A∩B。

相互独立事件与互斥事件的区别

1. 相互独立事件之间的发生互不影响，但可能会同时发生。互斥事件是不可能同时发生的事件，即交集为零，但可能会产生相互影响。联系∶相互独立事件可能是互斥事件也可能不是互斥事件，而互斥事件一定不是独立事件。
2. 事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。将较复杂事件表示为若干两两互斥事件的和，利用概率加法公式计算互斥事件和的概率，或当一事件的对立事件的概率易求时，将该事件概率的计算转化为对立事件的概率，简化计算。解题时应注意互斥事件或对立事件的条件是否满足。
3. 从集合的角度来看，事件A、B互斥，是指事件A所含的结果组成的集合与事件B所含的结果组成的集合的交集为空集，则有：
   P(A+B)=card(A+B)/card(I)=card(A)+card(B)/card(I)=card(A)/card(I)+card(B)/card(I)=P(A)+P(B)；事件A与B对立，是指事件B所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集，即A∩B=Φ，且A∪B=I。