通过图形理解超平面、半空间和范数球

通过图形理解超平面、半空间和范数球

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/qq_43317896/article/details/137014647

在学习最优化理论时，理解超平面、半空间和范数球等概念是非常重要的。本文通过绘制图形的方式，帮助读者直观地理解这些概念。

平面直角坐标系中的基本概念

在平面直角坐标系中，我们已经非常熟悉以下两种基本的数学表达式：

1. 线性方程：$ax + by = C$，这表示一条直线。
2. 非线性方程：$(x + a)^2 + (y + b)^2 = C$，这表示一个圆。

如果将等号替换为不等号，图像也会相应变化，这在二维平面上很容易想象。

高维空间中的概念扩展

当我们进入三维或更高维的空间时，这些概念会如何变化呢？让我们以三维空间为例进行说明：

1. 线性方程：$ax + by + cz = C$

• 如果维度进一步增加，可以表示为 $a^T x = b$，其中 $a, x \in \mathbb{R}^n$。这表示的是一个超平面。

  举例（以一个具体的等式为例）：
  如果是 $\leq$ 的情况，图像也很容易想象。例如，在上述例子中，就是该平面及其下方的区域，这被称为半空间。

2. 非线性方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = C$

• 如果维度进一步增加，可以表示为 $|x - a|_2$，其中 $x, a \in \mathbb{R}^n$。

  举例（以一个具体的等式为例）：
  这个例子的图像是一个球体。如果是 $\leq$ 的情况，就属于范数球，其定义为 ${x | |x - x_c| \leq r}$。

总结

通过上述分析，我们可以直观地理解超平面、半空间和范数球等概念。这些概念在机器学习，特别是支持向量机（SVM）中有着重要的应用。如果需要更深入地了解支撑向量等相关内容，可以查找相关的教程进行学习。