多元函数的全微分及其应用
多元函数的全微分及其应用
第三节 全微分
一、全微分的定义
由偏导数的定义知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率。根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得：
上面两式的左端分别叫做二元函数对 (x) 和对 (y) 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 (x) 和对 (y) 的偏微分。
在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题。下面以二元函数为例进行讨论：
设函数 (z=f(x,y)) 在点 (P(x,y)) 的某邻域内有定义，(P'(x+\Delta x, y+\Delta y)) 为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 (f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y)) 为函数在点 (P) 对应于自变量增量 (\Delta x) 和 (\Delta y) 的全增量，记作 (\Delta z)，即：
一般说来，计算全增量 (\Delta z) 比较复杂。与一元函数的情形一样，我们希望用自变量的增量 (\Delta x)、(\Delta y) 的线性函数来近似地代替函数的全增量 (\Delta z)，从而引入如下定义：
定义 设函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 的某邻域内有定义，如果函数在点 ((x,y)) 的全增量
可表示为
其中 (A) 和 (B) 不依赖于 (\Delta x) 和 (\Delta y) 而仅与 (x) 和 (y) 有关，(p=\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})，那么称函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 可微分，而 (A\Delta x + B\Delta y) 称为函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 的全微分，记作 (dz)，即：
如果函数在区域 (D) 内各点处都可微分，那么称这函数在 (D) 内可微分。
在第二节中曾指出，多元函数在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续。但是，由上述定义可知，如果函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 可微分，那么这函数在该点必定连续。事实上，这时由 (3-2) 式可得：
从而
因此函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 处连续。下面讨论函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 可微分的条件。
定理1（必要条件）
如果函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 可微分，那么该函数在点 ((x,y)) 的偏导数必定存在，且函数 (z=f(x,y)) 在点 ((x,y)) 的全微分为：
证： 设函数 (z=f(x,y)) 在点 (P(x,y)) 可微分。于是，对于点 (P) 的某个邻域内的任意一点 (P'(x+\Delta x, y+\Delta y))，(3-2) 式总成立。特别当 (\Delta y=0) 时 (3-2) 式也应成立，这时 (p=|\Delta x|)，所以 (3-2) 式成为：
上式两边各除以 (\Delta x)，再令 (\Delta x \to 0) 而取极限，就得：
所以偏导数 (f_x) 存在，且等于 (A)。同样可证 (f_y = B)。所以 (3-3) 式成立。证毕。
我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。但对于多元函数来说，情形就不同了。当函数的各偏导数都存在时，虽然能形式地写出：
但它与 (\Delta z) 之差并不一定是较 (p) 高阶的无穷小，因此它不一定是函数的全微分。换句话说，各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。例如，函数
在点 ((0,0)) 处有 (f_x(0,0)=0) 及 (f_y(0,0)=0)，所以
如果考虑点 (P'(x,y)) 沿着直线 (y=x) 趋于 ((0, 0))，那么
这表示当 (p \to 0) 时，(\Delta z) 与 (\Delta x) 和 (\Delta y) 之比并不是较 (p) 高阶的无穷小，因此函数在点 ((0, 0)) 处的全微分并不存在，即函数在点 ((0, 0)) 处是不可微分的。
由定理1及这个例子可知，偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。但是，如果再假定函数的各个偏导数连续，那么可以证明函数是可微分的，即有下面的定理。
定理2（充分条件）
如果函数 (z=f(x,y)) 的偏导数在点 ((x,y)) 连续，那么函数在该点可微分。
证： 由假定，函数的偏导数 (f_x) 和 (f_y) 在点 (P(x,y)) 的某邻域内存在。设点 ((x+\Delta x, y+\Delta y)) 为这邻域内任意一点，考察函数的全增量
在第一个方括号内的表达式，由于 (y+\Delta y) 不变，因而可以看做是 (x) 的一元函数 (f(x, y+\Delta y)) 的增量。于是，应用拉格朗日中值定理，得到：
又依假设，(f_x(x,y)) 在点 ((x,y)) 连续，所以上式可写为：
其中 (e_1) 为 (\Delta x) 与 (\Delta y) 的函数，且当 (\Delta x \to 0)，(\Delta y \to 0) 时，(e_1 \to 0)。
同理可证第二个方括号内的表达式可写为：
其中 (e_2) 为 (\Delta y) 的函数，且当 (\Delta y \to 0) 时，(e_2 \to 0)。
由 (3-4)、(3-5) 两式可见，在偏导数连续的假定下，全增量 (\Delta z) 可以表示为：
容易看出
它是随着 ((\Delta x, \Delta y) \to (0,0)) 即 (p \to 0) 而趋于零的。这就证明了 (z=f(x,y)) 在点 (P(x,y)) 是可微分的。
以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。
习惯上，我们将自变量的增量 (\Delta x) 与 (\Delta y) 分别记作 (dx) 与 (dy)，并分别称为自变量 (x) 与 (y) 的微分。这样，函数 (z=f(x,y)) 的全微分就可写为：
通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理。叠加原理也适用于二元以上的函数。例如，如果三元函数 (u=f(x,y,z)) 可微分，那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和，即：
例子
例1 计算函数 (z=x^2y+y^2) 的全微分。
解：
所以
例2 计算函数 (z=e^{xy}) 在点 ((2, 1)) 处的全微分。
解：
在点 ((2, 1)) 处，
(f_x(2,1)=e^2, f_y(2,1)=2e^2,)
所以
例3 计算函数 (u=x+\sin(2y)+yz^2) 的全微分。
解：
所以
二、全微分在近似计算中的应用
由二元函数全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知，当二元函数 (z=f(x,y)) 在点 (P(x,y)) 的两个偏导数 (f_x(x,y)) 和 (f_y(x,y)) 连续，并且 (|\Delta x|) 和 (|\Delta y|) 都较小时，就有近似等式：
上式也可以写成：
与一元函数的情形相类似，可以利用 (3-8) 式或 (3-9) 式对二元函数作近似计算和误差估计，举例如下。
例4 有一圆柱体受压后发生形变，它的半径由 20 cm 增大到 20.05 cm，高度由 100 cm 减少到 99 cm。求此圆柱体体积变化的近似值。
解：
设圆柱体的半径、高和体积依次为 (r)、(h) 和 (V)，则有：
记 (r)、(h) 和 (V) 的增量依次为 (\Delta r)、(\Delta h) 和 (\Delta V)。应用公式 (3-8)，有：
把 (r=20)、(h=100)、(\Delta r=0.05)、(\Delta h=-1) 代入，得：
即此圆柱体在受压后体积约减少了 (200\pi) cm³。
例5 计算 ((1.04)^2) 的近似值。
解：
设函数 (f(x,y)=x^y)。显然，要计算的值就是函数在 (x=1.04)、(y=2) 时的函数值 (f(1.04,2))。
取 (x=1)、(y=2)、(\Delta x=0.04)、(\Delta y=0)。由于：
所以 (f_x(1,2)=2)、(f_y(1,2)=0)，应用公式 (3-9) 得：
例6 利用单摆摆动测定重力加速度 (g) 的公式是：
现测得单摆摆长 (l) 与振动周期 (T) 分别为 (l=(100\pm0.1)) cm、(T=(2\pm0.004)) s。问由于测定 (l) 与 (T) 的误差而引起 (g) 的绝对误差和相对误差各为多少？
解：
如果把测量 (l) 与 (T) 时所产生的误差当作 (|\Delta l|) 与 (|\Delta T|)，那么利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数的全增量的绝对值 (|\Delta g|)。由于 (|\Delta l|) 和 (|\Delta T|) 都很小，因此我们可以用 (dg) 来近似地代替 (\Delta g)。这样就得到 (g) 的误差为：
因为：
所以：
于是：
其中，(\Delta l) 与 (\Delta T) 分别为 (l) 与 (T) 的绝对误差。把 (l=100) cm、(T=2) s、(\Delta l=0.1) cm、(\Delta T=0.004) s 代入上式，得 (g) 的绝对误差约为：
从而 (g) 的相对误差约为：
从上面的例子可以看到，对于一般的二元函数 (z=f(x,y))，如果自变量 (x)、(y) 的绝对误差分别为 (\Delta x)、(\Delta y)，即：
那么 (z) 的误差：
从而得到 (z) 的绝对误差约为：
(z) 的相对误差约为：