√2的√2次方是有理数还是无理数？匪夷所思的证明思路！
√2的√2次方是有理数还是无理数？匪夷所思的证明思路！
反证法是一种重要的数学证明方法，尤其在处理某些难以直接证明的问题时，其作用尤为显著。本文将通过几个经典例题，展示反证法的巧妙运用及其严谨的逻辑推理过程。
反证法的基本概念
反证法的证明逻辑如下：
- 假设结论不成立；
- 由假设出发，推导出与已知条件或公认结论相矛盾；
- 说明假设错误；
- 证明题干结论成立。
证明√2是无理数
在实数范围内，除了有理数就是无理数。有理数是指有限小数或无限循环小数，无理数是指无限不循环小数。
求证：√2是无理数
证明：假设√2是有理数
显然√2＞0，则√2=m/n
m、n∈N*，且(m，n)=1
m=(√2)n，m^2=[(√2)n]^2=2(n^2)
m^2为偶数，则m为偶数
设m=2p
2(n^2)=m^2=(2p)^2=4(p^2)
n^2=2(p^2)
n^2为偶数，则n为偶数
m和n均为偶数，与(m，n)=1矛盾
说明“假设√2是有理数”错误
所以√2是无理数，证毕！
反证法的争议
20世纪初，荷兰数学家布劳威尔提出了对反证法的质疑。他认为反证法依赖的排中律并不总是成立。例如，定义数字D，如果组合12345在π的小数部分中出现有限次，则D=0；如果组合12345在π的小数部分中出现无限次，则D=1。由于π无限不循环，所以无法确定D的值，这似乎违背了排中律。然而，布劳威尔的不动点定理证明恰恰使用了反证法，这表明反证法在满足排中律的情况下是有效的。
存在无理数的无理数次方是有理数
求证：存在无理数的无理数次方是有理数。
证明：考虑(√2)^(√2)是一个无理数的无理数次方
- 假设(√2)^(√2)是有理数
则问题得证； - 假设(√2)^(√2)是无理数
则[(√2)^(√2)]^(√2)是一个无理数的无理数次方
[(√2)^(√2)]^(√2)
=(√2)^[(√2)×(√2)]
=(√2)^2=2，是一个有理数
问题也得证。
所以必存在无理数的无理数次方是有理数，证毕！
质数有无穷多个
求证：质数有无穷多个。
证明：假设质数个数是有限的，则必存在最大质数p
令q=2×3×5×…×p+1
显然q＞p，则q不是质数
q÷2=……1
q÷3=……1
q÷5=……1
…………
q÷p=……1
q不能被任何质数整除，则q是质数，与q不是质数矛盾
说明“假设质数个数是有限的”错误
所以质数有无穷多个，证毕！
π是无理数
引理：如果x是非0有理数，那么tan(x)必然是无理数。
求证：π是无理数
证明：假设π是有理数，显然π/4也是有理数，且π/4≠0
根据引理：如果x是非0有理数，那么tan(x)必然是无理数
所以tan(π/4)是无理数
tan(π/4)=tan(45°)=1是有理数
与tan(π/4)是无理数矛盾
说明“假设π是有理数”错误
所以π是无理数，证毕！
一个困扰人们2000多年的问题，就这样被反证法轻易征服了。整个证明过程简洁清晰、逻辑缜密，堪称反证法应用的经典例证，真是让人赏心悦目。