黎曼球面——一个可以除以零的世界

黎曼球面——一个可以除以零的世界

在数学的世界里，是否存在一个可以除以零的地方？答案或许就在黎曼球面中。本文将带你走进这个神奇的数学世界，探索如何通过拓扑变换，将无限大与无限小完美地融合在一起。

物理学家长期以来一直在为无限发散级数（如果你愿意的话，也可以是无限和）分配有限的值，例如

尽管这样做相当有争议，但不知何故，当物理学家用这些值取代他们理论中的无穷大时，他们得到的有限结果与实验结果具有惊人的数值精度。

考虑到物理是一门以实验为基础的学科，数学界对此也是欣然接受，也为这套理论提供了一个基础。

从哲学的角度来看，这些级数发散得如此之快，以至于它们"超越"了无穷大，然后在数轴上绕了回来。这就好像数轴本身在拓扑意义上是类似于一个圆，或者更一般地说，如果我们将复平面看作是一个球面，那么这种现象就更容易理解。

在现实世界中，物理学家正在推测，我们的三维空间是否实际上是从某个遥远的二维表面投影而来的。这被称为全息原理（holographic principle）。是的，我知道这听起来可能有些不可思议，但他们之所以考虑这种可能性，是有其充分理由的，而这背后有一个很长但又非常有趣的故事……

同样地，我们可以使用这种（立体投影，stereographic projection）来构造一个与复平面（或通常的笛卡尔坐标系）平行的世界。我们可以把平面上的一个点 ——或者等价地，对于熟悉复数的人来说，可以用 来表示——看作在三维空间中一个以原点为中心、半径为1的球面上有一个"孪生"对应点。这样，平面上的每一个点都与球面上的一个点形成一一对应的关系，除了球面上的某个特殊点，我们稍后会再讨论这个点。

通过球面化来解决无穷相关的问题

在我们讨论所谓的黎曼球面（Riemann sphere）之前，先让我们从一个看似简单的问题开始。这是世界各地的孩子们每天都会问老师的问题：

"为什么我们不能除以零？"

可怜的老师们通常会想出一些奇怪的答案，比如"因为你不能把披萨分成0均等的份"——甚至可能会有更离谱的解释。然而，真正的答案是：我们无法以一致的方式定义除以零的操作，原因其实有好几个。

假设我们定义一个实数 。然后通过在两边乘以 ，我们将得到 ，这当然是错误的。好吧，而这显然是错误的。因此，如果我们允许除以零，那么结果就不可能是一个实数。

好吧，那我们不妨把这个结果定义为无穷大( ),并且在实数轴上附加正无穷大和负无穷大作为额外的数值（这称为扩展实数轴，extended real line，这实际上是一个数学上正式存在的概念）。

然而，抱歉要让你失望了，这种方法依然存在问题。特别是，除法运算将不再是连续的，因为 0 作为负数和正数的分界点，导致以下问题：

• 如果从左侧趋近0（即分母趋近0，但为负数），则商趋近负无穷大。
• 如果从右侧趋近0（即分母趋近0，但为正数），则商趋近正无穷大。

这意味着，在通常的实数轴（或扩展实数轴）上，我们无法在连续性的意义下定义除以零的操作。唯一可能的解决方案是让正无穷大和负无穷大相等，即它们是同一个点。这样，我们就不再是把数轴视为一条线，而是将其拓扑地"封闭"成一个圆。这解决了连续性的问题，同时使得除以零的操作可以合理地解释——我们可以定义对于所有非零实数 ， 而 仍然是未定义的情况。

类似的方法可以在平面上进行推广，但在这里，我们不能简单地把数轴的两端连接起来，而是需要把整个无限"地平线"封闭成一个点。这有点像收紧袋口的边缘，最终将整个平面"包裹"成一个球面，并在某个特殊点处完成"封闭"——这个点被称为无穷远点（the point at infinity）。这样，我们就得到了一个球面，其中包含了一个特殊的无穷远点。

构造这一过程的具体方法是通过一个从平面到单位球面的映射函数 ，想象一个数字平面，比如复数平面 或者通常的笛卡尔平面(即二维实向量空间 ,同时想象在这个平面原点处放置一个半径为1的球面。

对于平面上的每一个点 ,我们可以做如下操作：

• 以球体的北极点 为起点，作一条穿过 的直线。
• 这条直线必然会与球面在另一个唯一的点相交，我们称这个交点为
• 我们将 通过 映射到球面上的点

通过这个映射，我们建立了平面与球面之间的一一对应关系，并且只缺失球面的一个点——即北极点 ，它可以看作是整个平面延伸至无穷远的极限点。这样，我们就构造出了黎曼球面，它为我们提供了一种新的方式来理解无穷远点和除法运算的连续性问题。

不仅如此，我们还可以把 ： 的明确公式写出来：

在给定的平面是复平面的情况下，相应的球面被称为黎曼球面（Riemann sphere），有时也被称为扩展复平面（extended complex plane），因为它被视为集合

映射 将复平面的复结构带到球面上（实际上，这是一个同胚映射，即 homeomorphism）。由于球面包含无穷远点 ，因此在球面上允许出现极点(poles）。这意味着，我们可以将亚纯函数meromorphic functions）视为全纯函数（holomorphic functions），只不过此时是定义在黎曼球面上！

从球面上去掉北极点的部分到复平面的逆映射通常被称为立体投影映射（stereographic projection）。

在这个空间中，我们实际上允许除以零，因为北极点已经成为球面的一部分。因此，像 这样的函数在 处是连续的。为了更清楚地理解这一点，在接下来的部分，我们将考虑一些著名函数的图像，并观察它们通过 映射到单位球面的情况。

球面上的实函数

让我们从最著名的函数开始：自然指数函数 。我们有以下图:

看看它是如何优雅地闭合成一个环的，因为图像的两端都趋于无穷。在这里，红色轴是x轴，绿色轴是f轴。

从正上方直接观察，我们可以更清晰地理解其形状，同时还能看到我们熟悉的函数图像！

让我们来看一下这个麻烦制造者 ,当将其定义为一个实函数，即: ,它在 处是不连续的，然而，在球面上，这个函数同样形成了一条优美的封闭曲线！f(x) = \frac{1}{x}

这个函数在 并没有良好定义，因为它在无穷远处存在问题。然而，在球面上，它在 处是完全良好定义的。

诗意地说，它形成了一个无限符号 ，这就像是在数学蛋糕上点缀的糖霜，增添了美妙的意境。那么，常数函数呢？

下面绘制的是函数 的图像：

常数函数在球面上表现为圆，并在无穷远处相交。那么对数函数呢？毫不意外，自然对数函数在球面上的形状与指数函数相同。

我们还有更多特殊函数图，例如伽马函数 ：

此外，还有一个更为广泛的研究领域——黎曼曲面(Riemann surfaces)，它涉及比球面更一般几何形状，即流形(manifolds)。有机会我们可以再说。