对比研究：证明双曲线（椭圆）上一点处切线（法线）平分过这点的两条焦半径所成的角

对比研究：证明双曲线（椭圆）上一点处切线（法线）平分过这点的两条焦半径所成的角

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双曲线和椭圆是解析几何中的重要曲线，它们在光学、天文学等领域有着广泛的应用。本文将通过严格的数学证明，展示双曲线上一点处的切线和平分过这点的两条焦半径所成的角，以及椭圆上一点处的法线平分过这点的两条焦半径所成的角的性质。

双曲线的情况

设双曲线方程为

点P为双曲线上任意一点。连接PF₁和PF₂。试证明∠F₁PF₂被点P处的切线PQ所平分。

证明：图中PQ为点P处双曲线的切线，点Q在x轴上，它位于F₁和F₂之间。要证明的是图中∠F₁PQ=∠QPF₂（即红色角=蓝色色）。要证明∠F₁PQ=∠QPF₂，只需证明PF₁：PF₂ = QF₁：QF₂。下面的证明要用到双曲线的焦点准线定义：到定点的距离与到定直线的距离的比值是一个大于1的常数，其中的定点称为焦点，定直线称为准线，常数为离心率。从而针对上图，便有PF₁：PP₁ = e =PF₂：PP₂，从而PF₁：PF₂ = PP₁：PP₂。PP₁和PP₂可以计算出来：
于是
下面计算QF₁和QF₂。因为PQ为点P处双曲线的切线，所以这条切线的方程为
取y = 0，可求出点Q的横坐标：
QF₁和QF₂便可以计算出来：
从而有
比较①式与②式，结论便得证。

椭圆的情况

设椭圆方程为
点P为椭圆上任意一点。连接PF₁和PF₂。试证明∠F₁PF₂被点P处的法线PQ所平分。

鉴于法线方程不如切线方程容易直接写出，所以，本问题可以转化为点P处椭圆的切线PT平分∠F₁PF₂的外角∠SPF₂。于是类似地，只需证明PF₁：PF₂ = TF₁：TF₂。还是需要先求了点T的横坐标。切线PT的方程为：
点T的横坐标为：
于是，
得证。

本讲中，双曲线与椭圆所用方法类似，不同之处是，双曲线时切线是内角的平分线，而椭圆时，切线是外角的平分线。椭圆和双曲线都有“光学性质”：对椭圆来说，从一个焦点发出的光线，经过椭圆“壁面”的反射，一定射向另一个焦点。对双曲线来说，从一个焦点发出的光线，你看到的好象是从另外一个焦点发射出来的。