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有刷直流力矩电机的建模、仿真、控制带宽讨论及驱动方式选择

创作时间:

作者:

@小白创作中心

有刷直流力矩电机的建模、仿真、控制带宽讨论及驱动方式选择

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/heqiunong/article/details/136641299

有刷直流力矩电机的建模

图1为有刷直流力矩电机的等效控制框图，其中$e_i(t)$为电机输入电压，$L_a$为电枢电感，$R_a$为电枢电阻，$e_m(t)$为电机工作时产生的反电动势，$i_a(t)$为回路电流，$T(t)$为电机输出转矩，$\theta_0(t)$为电机输出转角，$J_e$为系统及负载在电机轴的等效转动惯量，$M_c(t)$为作用在电机轴空载转矩、负载转矩和摩擦力矩的总负载转矩。

由基尔霍夫定律及电磁感应定律有：

$$
\begin{align}
&e_i(t) = R_a i_a(t) + L_a \frac{di_a(t)}{dt} + e_m(t) \
&e_m(t) = K_e \frac{d\theta_0(t)}{dt}
\end{align}
$$

其中，$K_e$为电机反电动势系数。

根据力矩平衡方程以及洛伦兹电磁定律有：

$$
\begin{align}
&T(t) - M_c(t) = J_e \frac{d^2\theta_0(t)}{dt^2} \
&T(t) = K_t i_a(t) \
&M_c(t) = T_0 + T_L + D_m \frac{d\theta_0(t)}{dt}
\end{align}
$$

其中：$K_t$为电动机力矩系数；$T_0$为空载转矩；$T_L$为负载转矩；$D_m$为系统在电机轴上的等效粘滞阻尼系数；$D_m \frac{d\theta_0(t)}{dt}$表示摩擦力矩。

联立上述公式并进行拉普拉斯变换可得：

$$
\Theta_0(s) = \frac{K_t E_i(s) - (L_a s + R_a) M_c(s)}{L_a J_e s^3 + R_a J_e s^2 + K_t K_e s}
$$

由式(6)可得电机系统模型框图如图2所示，由式(6)不难看出，电机输出角度取决于$E_i(s)$与$M_c(s)$两部分系统输入，2个输入变量与输出分别构成单输入-单输出系统，且2个系统均为典型的二阶振荡系统。

基于线性系统的叠加性原理，将$M_c(s)$视为系统的扰动，可得电机输入电压到电机输出转角的传递函数为：

$$
\frac{\Theta(s)}{E_i(s)} = \frac{K_t}{L_a J_e s^3 + R_a J_e s^2 + K_t K_e s}
$$

电机总负载转矩到电机输出转角的传递函数为：

$$
\frac{\Theta_d(s)}{M_c(s)} = \frac{-(L_a s + R_a)}{L_a J_e s^3 + R_a J_e s^2 + K_t K_e s}
$$

其中$\Theta_d(s)$表示由电机负载所产生的扰动角度。

定义两个时间常数：

$$
\begin{align}
&T_e = \frac{L_a}{R_a} ---电枢电路电磁时间常数 \
&T_m = \frac{J_e R_a}{K_t K_e} ---电机机电时间常数
\end{align}
$$

将公式(9)(10)带入(7)，可进一步化简为：

$$
\frac{\Theta(s)}{E_i(s)} = \frac{1/K_e}{s(T_m T_e s^2 + T_m s + 1)}
$$

由于$T_m \gg T_e$，而且$T_e$很小可忽略，因此常会有一个近似，就是给公式(11)的分母添加一项$T_e s$，即

$$
\frac{\Theta(s)}{E_i(s)} \approx \frac{1/K_e}{s(T_m T_e s^2 + T_m s + T_e s + 1)} = \frac{1/K_e}{s(T_m s + 1)(T_e s + 1)}
$$

本文的推导参考书《惯性器件及应用实验技术》（作者：郭立东等人）的第3.1.2小节；书《光电成像系统》（作者：张秉华）的第4.3.2小节；论文《采用力矩电机直驱的数控机床进给系统伺服刚度优化》的第1.1小节。

根据公式(9)(10)(12)可知，要对一个力矩电机系统建模需要知道以下参数：

$K_e$ 电机反电动势系数 = $U_f / n_0$ (峰值堵转电压 / 最大空载转速)
$K_t$ 电动机力矩系数 = $M_n / I_n$ (连续堵转转矩 / 连续堵转电流)
$L_a$ 电枢电感和$R_a$ 电枢电阻
$J_e$ 为系统及负载在电机轴的等效转动惯量（一般可用$\frac{1}{2}mr^2$近似）

有刷直流力矩电机的仿真

以河北宇捷电机科技有限公司的NH186LYX-M53-E48电机拖动质量为120kg，半径为0.35m的负载为例进行Matlab建模分析，由于电机厂家的资料中并未提供电枢电阻和电枢电感，因此直接联系厂家查询后得电机的电枢电阻和电枢电感分别为：3.1Ω和7.8mH。

Matlab代码如下：

clear all; close all; clc;
%--------------------------------
Uf = 48;         %峰值堵转电压
n0 = 115;       % r/min最大空载转速
n0 = n0 * 6;    % deg/s
n0 = n0 /57.3;  % rad/s
Ke = Uf / n0;   % 电机反电动势系数
%--------------------------------
%--------------------------------
Mn =29.5;         % 连续堵转转矩
In = 8;       % 连续堵转电流
Kt = Mn / In;   % 电动机力矩系数
%--------------------------------
%--------------------------------
La = 7.8*10^(-3);% 电枢电感 H
Ra = 3.1;      % 电枢电阻 Ohms
Te = La / Ra;   % 电动机力矩系数
%--------------------------------
%--------------------------------
m = 120;        % kg负载重量
r = 0.35;       % m 负载半径
Je = 0.5 * m * r^2;   % 负载转动惯量
%--------------------------------
%--------------------------------
Tm = Je * Ra / (Kt * Ke);
%--------------------------------
s = tf('s');
k = 1/Ke;
G = 1 / s / (Tm*s+1) / (Te*s + 1);
% 被控对象
figure(1);
p = bodeoptions;
p.FreqUnits = 'Hz';
bode(G,p);grid on; hold on;
% C = 1;
% Phi = C*G/(1+C*G);
% bode(Phi,p);grid on; hold on;
% legend('被控对象','闭环传函');

有刷直流力矩电机的控制带宽的讨论

第2小节的仿真我们可以看到，系统的开环穿越频率在0.1Hz左右，根据控制理论的经验，如果不设计控制器，那么闭环后的带宽也就是0.1Hz左右。但如果我设计了控制器，比如就是一个C = 100的P控制器，那么系统添加控制器后的开环穿越频率将达到1.2Hz（如下图所示）。那么闭环后带宽也将达到1.2Hz左右。那么是不是说，我控制器增益可以无限去提升，我的带宽也可以无限去提升呢？答案肯定是否定的。因为系统的输入电压是受到约束的，比如控制器的输出是100V的电压，但是电机允许的最大输入电压也才40V。这样的约束可视为增益下降。也就是说我们的控制器增益并不是可以无限提升的。当我给控制器的输入是小幅值的时候，理论上带宽是可以比较高的，比如幅值最大是0.4V的输入，我可以放到100倍到40V。但是，当我给的控制器的输入是大幅值的时候，比如幅值最大是10V，带宽就做不到多高了，我控制器增益最大能到4倍。