当1+1+1等于1时——James Propp教授专栏
当1+1+1等于1时——James Propp教授专栏
在数学的世界里，有些运算执行两次等于什么都不做，而有些运算则需要执行三次才能回到原点。本文将探讨这些"三次等于一次"的特殊运算，并通过三个具体例子来阐述这一概念。
当我们谈论数学运算时，通常会遇到这样一种情况：执行两次运算等于什么都不做。这样的运算被称为对合（involution）。例如，取一个数的负数、取一个数的倒数、将一个物体旋转180度等，都是对合的例子。在这种情况下，执行X三次相当于执行X一次，执行X四次相当于执行X两次，依此类推。
然而，本文要讨论的是另一类运算，它们具有"三次等于一次"的特性。也就是说，执行这类运算三次后，结果会回到初始状态。这种运算并不常见，但它们在数学中扮演着重要的角色。接下来，我们将通过三个具体例子来探讨这类运算。
正交补（Orthocomplementation）
我们的第一个例子来自线性代数。假设我们有一个三维空间，其中包含x、y和z坐标。给定这个空间中的一组直线S，设Perp(S)或P(S)为垂直于S中每条直线的所有直线的集合。
例如，假设S由三条在xy平面上围出一个三角形的直线组成。那么，P(S)将包含所有平行于z轴的直线，P(P(S))将包含所有平行于xy平面的直线，P(P(P(S)))将再次包含所有平行于z轴的直线，依此类推。我们可以看到，P(P(S))与S不同，但P(P(P(S)))与P(S)相同。
更令人费解的是，当S由三条相互垂直的直线组成时，P(S)将是空集。在这种情况下，P(P(S))将包含所有直线，P(P(P(S)))将再次是空集，依此类推。这种现象在有限维向量空间中总是成立，而在无限维空间中，虽然Perp(Perp(W))可能不等于W，但Perp(Perp(Perp(W)))总是等于Perp(W)。因此，Perp是一个典型的"三次等于一次"的运算。
直觉主义否定（Intuitionistic Negation）
在非经典逻辑框架中，特别是构造主义逻辑中，否定运算也表现出"三次等于一次"的特性。在构造主义逻辑中，"非p"的含义更接近于"我有一个程序，以给定的p的证明作为输入，以0=1的证明作为输出"。
在直觉主义逻辑中，"非非p"并不等同于p，但p确实蕴含着"非非p"。通过一系列逻辑推理，我们可以证明"非p"和"非非非p"在直觉主义逻辑中是等价的。因此，直觉主义否定也是一个"三次等于一次"的运算。
网络关系（Networks）
最后一个例子来自组合学中的图论。假设我们有一个社交网络，其中节点代表人，边表示两个人相互认识。对于网络中的任何一组人S，我们可以定义K(S)为认识S中每个人的一组人的集合。
例如，假设我们有一个由六个人a、b、c、d、e和f组成的网络，如图所示：
设集合S为{b}，那么K(S)将包含d和e。现在，d和e共同认识a、b和c，但b和c是d和e都认识的，所以K(K(S))将只包含b和c。那么K(K(K(S)))呢？你应该检查它是否为{d，e}——与K(S)相同。
这种K运算在图论中具有重要的应用。通过证明K(K(K(S)))等于K(S)，我们可以揭示社交网络中的一些有趣性质。例如，"认识所有认识所有认识你的人都是你认识的人，而你认识的人都是认识所有认识所有认识你的人"这一结论，正是K运算"三次等于一次"特性的体现。
相同还是不同？
有趣的是，这三个例子之间存在深刻的联系。第一个例子中的Perp运算实际上可以看作是第三个例子中K运算的特例。在量子物理学中，费米子的旋转运算也表现出类似的性质，但需要旋转360度才能回到初始状态。
第二个例子是否与其他两个例子相同？这个问题留给读者思考。但可以肯定的是，这些"三次等于一次"的运算在数学中扮演着重要的角色，它们揭示了数学结构中一些深层次的对称性和规律。
尾注
在量子物理学中，如果你正在处理那种叫做费米子（fermion）的物体，那么物体绕轴旋转180度不是对合，而旋转360度才是！这个话题值得一写，而且最终会有一篇文章来介绍它，但在那之前，你可以从我过去的文章中学到更多的东西《带锯片、臭虫灭火器、橡皮筋和我》和《汉密尔顿的四元数或三元数的麻烦》（参阅 ）。
据我所知，最接近描述此类操作的技术术语是"三阶的幂等"。
在这些设置中，数字0的古怪状态让我想起了我的离散数学课程中的许多学生在吸收0是偶数这一事实时遇到的困难。我在上课的第一周解释了为什么0是偶数，并回到了整个学期如何定义"偶数"和"奇数"的话题，但是，到了考试时，我还是会收到一两个学生的电子邮件，说"我一直忘记，零是偶数还是奇数？在数学上未经训练的大脑中，有一些东西抵制将0与2、4、6、8······分类因为0似乎与正偶数整数截然不同。我今天谈论的运算并不能验证学生认为0可能很奇怪的倾向，但它们确实验证了学生认为0是有所不同的潜在感觉。
闭包操作（运算）的另一个词是"二阶的幂等"，通常简称为幂等（idempotent）。
有关直觉主义三重否定的更多信息，请参阅在Stackexchange网站的讨论。 https://math.stackexchange.com/questions/2453533/triple-negation-in-intuitionistic-logic
本文原文来自澎湃