等价无穷小的应用：一个极限问题的解析与验证

等价无穷小的应用：一个极限问题的解析与验证

引用

CSDN

1.

https://blog.csdn.net/zipack/article/details/144021478

在高等数学中，极限理论是一个重要的基础概念。本文将通过一个具体的例子，探讨如何使用等价无穷小的概念来计算一个复杂的极限问题，并通过编程的方式验证计算结果。

考虑以下极限问题：

$$\lim_{x \to 0} \left(\frac{\sin^3 x}{\sin x - x}\right) = -6$$

为什么这个极限的结果是-6呢？我们可以通过数学推导和编程验证来解答这个问题。

数学推导

首先，我们知道在x趋于0时，有一些常见的等价无穷小关系：

• $\sin x \sim x$
• $x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$

根据这些等价关系，我们可以将原极限问题中的分子和分母分别进行近似：

• 分子：$\sin^3 x \sim x^3$
• 分母：$\sin x - x \sim -\frac{x^3}{6}$

因此，原极限可以近似为：

$$\lim_{x \to 0} \left(\frac{x^3}{-\frac{x^3}{6}}\right) = -6$$

编程验证

为了进一步验证这个结果，我们可以使用JavaScript编写一个简单的函数来计算这个极限：

function f(x) {
  return Math.sin(x) ** 3 / (Math.sin(x) - x);
}

// 输出
console.log(f(0.01)); // -5.999730005063162

通过计算发现，当x趋于0时，函数f(x)的值确实趋于-6。这种通过编程验证数学结论的方法，不仅可以帮助我们检查推导过程是否正确，还可以直观地理解极限的概念。

结论

通过等价无穷小的概念和编程验证，我们成功解答了这个极限问题。这种方法不仅适用于这个特定的例子，还可以推广到更广泛的数学问题中。在学习数学的过程中，结合理论推导和实践验证，能够帮助我们更深入地理解抽象的概念。