超几何分布

超几何分布

超几何分布是一种离散概率分布，常用于描述从有限个物件（其中包含两类不同特性的物件）中不放回地抽取一定数量物件，其中某类物件出现特定个数的概率。以下从其定义、公式、特点、应用场景来详细介绍：

1. 定义 ：假设存在$N$个物件，其中有$M$个具有某种特征（例如次品），剩下$N-M$个不具有该特征（例如正品）。现在从这$N$个物件中不放回地随机抽取$n$个物件，设$X$表示抽取的$n$个物件中具有该特征的物件个数，则$X$服从超几何分布。

2. 概率公式 ：$P\left(X=k\right)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0}{}{M}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0}{}{N-M}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0}{}{N}{n}\right)}$，其中$k$为抽取到具有某种特征物件的个数，$\left(\genfrac{}{}{0}{}{a}{b}\right)=\frac{a!}{b!\left(a-b\right)!}$表示从$a$个元素中选取$b$个元素的组合数。这里$k$的取值范围需满足$max\left(0,n-\left(N-M\right)\right)\le k\le min\left(n,M\right)$。

3. 特点

   • 有限总体 ：超几何分布所涉及的总体数量$N$是有限的，这与一些基于无限总体的概率分布（如正态分布等）有明显区别。
   • 不放回抽样 ：抽取过程是不放回的，即每次抽取后，总体中的物件数量会减少，这使得每次抽取的概率会发生变化。例如，在一个装有5个红球和3个白球的盒子里，第一次抽中红球的概率是$\frac{5}{8}$，若不放回，第二次再抽时，抽中红球的概率就变为$\frac{4}{7}$（若第一次抽中红球）或$\frac{5}{7}$（若第一次抽中白球）。

4. 应用场景

   • 产品质量抽检 ：在产品质量检测中，如果一批产品总数有限，已知其中次品的大致数量，从这批产品中随机抽取一定数量进行检测，求抽到一定数量次品的概率，就可以用超几何分布来计算。例如，一批100件产品中有10件次品，从中随机抽取15件，计算抽到3件次品的概率，就可利用超几何分布。
   • 抽样调查 ：在社会调查等领域，若总体数量有限，且总体中具有某种特征的个体数量已知，通过不放回抽样来估计样本中具有该特征个体数量的概率分布。例如，要调查一个1000人的社区中，有200人参加过志愿者活动，现随机抽取100人，求其中参加过志愿者活动人数的概率分布，超几何分布可提供有效的计算方法。