七道数学极限练习题及其答案详细步骤
七道数学极限练习题及其答案详细步骤
极限是高等数学中的一个重要概念，掌握极限的计算方法对于学习微积分等后续内容至关重要。本文精选了7道典型的极限题目，并提供了详细的解题步骤和多种解题方法，包括洛必达法则、重要极限公式等。无论是正在学习高等数学的学生，还是对数学感兴趣的读者，都能从本文中获得启发和帮助。
七道数学极限练习题
计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{11n^2-22}{22n^4+4n-4}$
计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{42n-26n-19}{28+3n-9n^2}$
求极限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^3-29x+28}{x^4-17x+16}$
求 $\lim_{x \to 0} \frac{2x+14\sin9x}{16x-27\sin5x}$
求 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{17x+25}$
求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin19x-\sin41x}{\sin11x}$
求 $\lim_{x \to 0} (1+4x)^{\frac{2}{6x}}$
七道数学极限练习题详细答案
- 计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{11n^2-22}{22n^4+4n-4}$
解：观察所求极限特征，可知所求极限的分母此时为2，分子的次数为4，且分子分母没有可约的因子，则当n趋近无穷大时，所求极限等于0。
本题计算方法为分子分母同时除以 $n^4$，即：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{11n^2-22}{22n^4+4n-4} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{11}{n}-\frac{22}{n^4}}{22+\frac{4}{n^3}-\frac{4}{n^4}} = 0
$$
- 计算 $\lim_{n \to \infty} \frac{42n-26n-19}{28+3n-9n^2}$
解：思路一：观察所求极限特征，可知所求极限的分子分母的次数相同均为2，且分子分母没有可约的因子，则分子分母同时除以 $n^2$，即：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{42n^2-26n-19}{28+3n-9n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{42-\frac{26}{n}-\frac{19}{n^2}}{\frac{28}{n}+\frac{3}{n}-9} = \frac{42-0}{0-9} = -\frac{14}{3}
$$
思路二：本题所求极限符合洛必达法则，有：
$$
\lim_{n \to \infty} \frac{42n^2-26n-19}{28+3n-9n^2} = \lim_{n \to \infty} \frac{84n-26}{3-18n} = \lim_{n \to \infty} \frac{84-0}{0-18} = -\frac{14}{3}
$$
- 求极限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^3-29x+28}{x^4-17x+16}$
解：观察极限特征，所求极限为定点 $x$ 趋近于1，又分子分母含有公因式 $x-1$，即 $x=1$ 是极限函数的可去间断点，则：
$$
\lim_{x \to 1} \frac{x^3-29x+28}{x^4-17x+16} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x-28)}{(x-1)(x^3+x^2+x-16)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2+x-28}{x^3+x^2+x-16} = \frac{1+1-28}{1+1+1-16} = 2
$$
- 求 $\lim_{x \to 0} \frac{2x+14\sin9x}{16x-27\sin5x}$
解：思路一：本题思路主要通过重要极限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 应用计算而得，则：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{2x+14\sin9x}{16x-27\sin5x} = \lim_{x \to 0} \frac{2+14\frac{\sin9x}{x}}{16-27\frac{\sin5x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{2+126\frac{\sin9x}{9x}}{16-135\frac{\sin5x}{5x}} = \frac{2+126}{16-135} = -\frac{128}{119}
$$
思路二：使用罗必塔法则计算有：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{2x+14\sin9x}{16x-27\sin5x} = \lim_{x \to 0} \frac{2+14 \cdot 9 \cos 9x}{16-27 \cdot 5 \cos 5x} = \frac{2+14 \cdot 9}{16-27 \cdot 5} = -\frac{128}{119}
$$
- 求 $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{17x+25}$
解：本题思路是分子分母同时除以 $x$，并变形使用重要极限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则：
$$
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{17x+25} = \lim_{x \to \infty} \frac{x\sin\frac{1}{x}}{\frac{17x+25}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1}{17+\frac{25}{x}} = \frac{1}{\lim_{x \to \infty} [17+\frac{25}{x}]} = \frac{1}{17}
$$
- 求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin19x-\sin41x}{\sin11x}$
解：思路一：对分母进行三角和差化积，再进行极限计算，有：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin19x-\sin41x}{\sin11x} = \lim_{x \to 0} 2\cos30x\sin(-11x)/\sin11x = \lim_{x \to 0} -2\cos30x = -2\cos0 = -2
$$
思路二：使用罗必塔法则计算有：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin19x-\sin41x}{\sin11x} = \lim_{x \to 0} \frac{19\cos19x-\sin41\cos41x}{11\cos11x} = \lim_{x \to 0} \frac{19-41}{11} = -2
$$
- 求 $\lim_{x \to 0} (1+4x)^{\frac{2}{6x}}$
解：本题主要通过使用重要极限公式 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ 计算而得，则：
$$
\lim_{x \to 0} (1+4x)^{\frac{2}{6x}} = \lim_{x \to 0} \left[(1+4x)^{\frac{1}{4x}}\right]^{\frac{1 \cdot 4}{3}} = e^{\frac{4}{3}}
$$