扭矩：转动的力量
扭矩：转动的力量
扭矩是物理学中的一个重要概念，它描述了力使物体发生转动的效果。从阿基米德的时代开始，人类就对转动现象进行了深入的研究。本文将带你了解扭矩的定义、历史发展、在刚体和连续介质中的应用，以及它在发动机性能评估中的重要作用。
研究历史
阿基米德在著作中写道：
如果两个物体的倾斜相等，那么它们到中心的距离与它们的重量成反比。
“扭矩”（torque）的定义最早由詹姆斯·汤姆森（James Thomson）于1884年4月提出。他对“扭矩”的解释如下：
正如牛顿对力的定义是产生或倾向于产生运动（沿直线）的力一样，扭矩也可以定义为产生或于产生扭转（绕轴）的力。最好使用一个将这个动作视为一个单一的确定的实体的术语，而不是使用像“couple”和“moment”这样的术语，它们暗示了更复杂的概念。用于转动轴的扭曲的单一概念比施加具有一定杠杆作用的线性力（或一对力）的更复杂的概念要好。
理论
定义
角动量是描述旋转物体的动力学的一个重要的物理量，假设力臂与时间无关，角动量的定义是
$$L = r \times p$$
其中 $L$ 是角动量，$r$ 是位矢，$p$ 是动量。角动量对时间的导数是
$$\frac{dL}{dt} = r \times F$$
对于质点，距离某个旋转中心的位移是 $r$，扭矩的定义是
$$\tau = r \times F$$
上式告诉我们，扭矩等于角动量随时间的变化率，如果合外扭矩的作用为零，那么体系的角动量守恒。如果刚体受到的合力和合扭矩都是零，那么我们称刚体处于平衡状态。
作用在刚体上的扭矩
刚体可以定义为直线距离保持不变的理想系统，在自然界中很多形变很小的固体可以近似地当做刚体。刚体是有六个自由度的系统：三个平动和三个转动。下面将刚体考虑成离散质点的集合，质心的速度是
$$v_{cm} = \frac{1}{M} \sum m_i v_i$$
其中 $M$ 是总质量，$m_i$ 是编号 $i$ 的质点的质量，$v_i$ 是其速度。对于刚体，所有质点的角速度都是相等的。假设角速度是 $\omega$，那么动能是
$$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^2 + \frac{1}{2} \sum m_i r_i^2 \omega^2$$
其中 $r_i$ 是编号 $i$ 的质点到转轴的距离。如果我们将坐标原点选取在质心，那么
$$r_i = r_{cm} + r_i'$$
转动对应的动能就是
$$K = \frac{1}{2} M v_{cm}^2 + \frac{1}{2} \sum m_i r_i'^2 \omega^2$$
因为
$$\sum m_i r_i' = 0$$
所以可以将转动的那部分动能表示成
$$K = \frac{1}{2} I \omega^2$$
引入转动惯量张量
$$I = \sum m_i r_i'^2$$
那么转动的那部分动能可以表示成
$$K = \frac{1}{2} I \omega^2$$
根据定义，角动量是
$$L = I \omega$$
转动惯量张量是对称的，即
$$I_{ij} = I_{ji}$$
将转动惯量写成连续的形式
$$I = \int r^2 dm$$
可以通过选择合适的坐标轴将转动惯量约化成对角形式，相当于对二阶张量做特征值分解。这些坐标轴叫做惯量主轴，很多时候惯量主轴可以通过对称性确定。此时角动量是
$$L = I \omega$$
对于刚体，扭矩是角动量的变化率
$$\tau = \frac{dL}{dt} = I \alpha$$
某个单位向量 $\hat{n}$ 对时间的导数是
$$\frac{d\hat{n}}{dt} = \omega \times \hat{n}$$
因此我们可以计算得到作用于刚体上的扭矩
$$\tau = r \times F$$
连续介质
定义：
- $\varphi$-------截面间相对转角；
- $\gamma$-------切应变；
- $\tau$--------切应力；
- $T$----------扭矩;
- $r$-----------半径；
- $l$-----------材料长度。
切应变与相对转角的关系为：
$$\gamma = \frac{\varphi l}{r}$$
切应变与切应力满足剪切胡克定律：
$$\tau = G \gamma$$
（$G$ 为材料的切变模量）
扭矩与切应力之间的关系为：
$$T = \int \tau r dA$$
（$dA$ 为点乘）
发动机的扭矩
发动机的扭矩就是指发动机从曲轴端输出的力矩。在功率固定的条件下它与发动机转速成反比关系，转速越快扭矩越小，反之越大，它反映了汽车在一定范围内的负载能力。
扭矩和功率一样，是汽车发动机的主要指数之一，它反映在汽车性能上，包括加速度、爬坡能力等。它的准确定义是位矢($L$)和力($F$)的叉乘($M$)，物理学上指使物体转动的力乘以到转轴的距离，它能表示发动机所输出的力的大小（因为发动机中曲轴的半径一定）。通俗点讲，扭矩是衡量一个汽车发动机好坏的重要标准，一辆车扭矩的大小与发动机的功率成正比。
扭矩实例图
对于家用轿车而言，扭矩越大加速性越好；对于越野车，扭矩越大其爬坡度越大；对于货车而言，扭矩越大，车拉的重量越大。车子的扭矩越大就越好，在行驶的时候也是这样，在排量相同的情况下，扭矩越大说明发动机越好。在开车的时候就会感觉车子随心所欲，想加速就可加速，“贴背感”很好。扭矩是评价一款车性能的主要参数之一。评价一款车有一个重要数据，就是该车在0-100公里/小时的加速时间。而这个加速时间就取决于汽车发动机的扭矩。
一般来讲，扭矩的最高指数在发动机转速相对比较低的情况下能够达到，就说明这款车的发动机工艺较好，力量也好。有些汽车在5000r/min的转速左右才达到该车扭矩的最高指数这说明“力量”就不是此车所长。可以这样说，我们追求的驾驶乐趣主要来自扭矩，也就是所谓的“推背感”如果某台车的发动机最大扭矩出现在我们经常使用的转速范围内，那么这样的车绝对可以带给你非凡的驾驶乐趣。对于家用轿车来说，完美的发动机最大扭矩应该在很低转速出现，而最大功率在相对比较高的转速出现。
计算方式
计算方法
在每一个转速下都有一个相对的扭矩数值，这些数值除以一个长度，便可获得力的数据。举例而言，一部1.6升的引擎大约可发挥15.0kg·m的最大扭力，此时若直接连上185/60R14尺寸的轮胎，半径约为41厘米，则经由车轮所发挥的推进力量为15/0.41=36.6kg的力量(事实上千克并不是力量的单位，而是质量的单位，须乘以重力加速度9.8m/s²才是力的标准单位是牛顿)。
利用不同大小的齿轮相连搭配，可以将旋转的速度降低，同时将扭矩放大。由于齿轮的圆周比就是半径比，因此从小齿轮传递动力至大齿轮时，转动的速度降低的比率以及扭矩放大的倍数，都恰好等于两齿轮的齿数比例，这个比例就是所谓的齿轮比。
举例说明
以小齿轮带动大齿轮，假设小齿轮的齿数为15齿，大齿轮的齿数为45齿。
当小齿轮以3000rpm的转速旋转，而扭矩为20kg·m时，传递至大齿轮的转速便降低为1/3，变成1000rpm；但是扭矩反而放大三倍，成为60kg·m。这就是引擎扭矩经由变速箱可降低转速并放大扭矩的基本原理。
在汽车上，引擎输出至轮胎为止共经过两次扭矩的放大，第一次由变速箱的档位作用而产生，第二次则导因于最终齿轮比（或称最终传动比）。扭矩的总放大倍率就是变速箱齿比与最终齿轮比的相乘倍数。举例来说，手排六代喜美的一档齿轮比为3.250，最终齿轮比为4.058，而引擎的最大扭矩为14.6kg·m/5500rpm，于是我们可以算出第一档的最大扭矩经过放大后为14.6×3.250×4.058=192.55kg·m，比原引擎放大了13倍。此时再除以轮胎半径约0.41m，即可获得推力约为470kg。然而上述的数值并不是实际的推力，毕竟机械传输的过程中必定有磨耗损失，因此必须将机械效率的因素考虑在内。
若论及机械效率，每经过一个齿轮传输，都会产生一次动力损耗，手动变速箱的机械效率约在95%左右，自动变速箱较惨，约剩88%左右，而传动轴的万向节效率约为98%。整体而言，汽车的驱动力可由下列公式计算：
驱动力=扭矩×变速箱齿比×主减速器速比×机械效率/轮胎半径（单位：米）。