内积与点积：定义、性质及区别

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@小白创作中心

内积与点积：定义、性质及区别

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CSDN

https://blog.csdn.net/u013600306/article/details/142548695

内积（Inner Product）和点积（Dot Product）这两个术语在很多情况下是可以互换使用的，尤其是在三维欧几里得空间中讨论向量时。然而，从更广泛的数学角度来看，这两个概念虽然紧密相关，但有着细微的区别。

内积（Inner Product）

内积是一个更加广义的概念，定义在任意的向量空间上。不仅限于实数向量空间，也适用于复数向量空间。不仅限于有限维空间，也可以定义在无限维空间（如函数空间）。内积满足以下性质：

共轭对称性：对于所有向量$x , y \mathbf{x}, \mathbf{y}x,y$，有$\langle x , y \rangle = \langle y , x \rangle \overline{\langle \mathbf{y}, \mathbf{x} \rangle}⟨x,y⟩=⟨y,x⟩$，其中上划线表示复共轭。
线性：对于所有向量$x , y , z \mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}x,y,z$和所有标量$a aa$，有$\langle a x + y , z \rangle = a \langle x , z \rangle + \langle y , z \rangle \langle a\mathbf{x} + \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle = a\langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \rangle + \langle \mathbf{y}, \mathbf{z} \rangle⟨ax+y,z⟩=a⟨x,z⟩+⟨y,z⟩$。

其中，$\langle c u , v \rangle = c \langle u , v \rangle \langle c\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = c\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle⟨cu,v⟩=c⟨u,v⟩$和$\langle u + w , v \rangle = \langle u , v \rangle + \langle w , v \rangle \langle \mathbf{u} + \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{w}, \mathbf{v} \rangle⟨u+w,v⟩=⟨u,v⟩+⟨w,v⟩$

对于复数$c cc$，有$\langle c u , v \rangle = c \overline{c} \langle u , v \rangle \langle c\mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \overline{c} \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle⟨cu,v⟩=c⟨u,v⟩$，这里的$c \overline{c}c$表示$c cc$的复共轭。

正定性：$\langle u , u \rangle \geq 0 \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle \geq 0⟨u,u⟩≥0$并且$\langle u , u \rangle = 0 \langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle = 0⟨u,u⟩=0$当且仅当$u = 0 \mathbf{u} = \mathbf{0}u=0$

内积允许我们定义向量的长度（范数）、角度以及向量之间的正交性等几何概念，是泛函分析中的重要工具。

点积（Dot Product）

点积，也称为标量积（Scalar Product），是内积的一个特例，通常用于实数向量空间。给定两个实数向量$a = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] \mathbf{a} = [a_1, a_2, ..., a_n]a=[a1 ,a2 ,...,an ]$和$b = [ b 1 , b 2 , . . . , b n ] \mathbf{b} = [b_1, b_2, ..., b_n]b=[b1 ,b2 ,...,bn ]$，它们的点积定义为：

$a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_ia⋅b=i=1∑n ai bi$

点积的结果是一个标量，并且它满足上述内积的所有性质。

在几何学中，点积还提供了一种计算两个向量之间夹角的方法。两个向量$a \mathbf{a}a$和$b \mathbf{b}b$的点积等于其中一个向量的长度乘以另一个向量在这个向量方向上的投影长度，再乘以它们之间的夹角$θ \thetaθ$的余弦值。公式表示如下：

$a ⋅ b = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos ⁡ ( θ ) \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos(\theta)a⋅b=∥a∥∥b∥cos(θ)$

这里：

$∥ a ∥ |\mathbf{a}|∥a∥$和$∥ b ∥ |\mathbf{b}|∥b∥$分别表示向量$a \mathbf{a}a$和$b \mathbf{b}b$的模（即向量的长度）；
$θ \thetaθ$是向量$a \mathbf{a}a$和$b \mathbf{b}b$之间的夹角。

点积主要用于计算向量的投影、向量之间的夹角以及确定向量是否正交等。

计算向量间的夹角：通过点积可以求出两个向量之间的夹角$θ \thetaθ$，因为$cos ⁡ ( θ ) = a ⋅ b ∥ a ∥ ∥ b ∥ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|}cos(θ)=∥a∥∥b∥a⋅b$ 。
判断向量是否正交：如果两个向量的点积为0，则这两个向量正交（垂直）。
向量投影：可以用来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度。
物理中的工作计算：在物理学中，力对物体做功的计算就是力向量与位移向量的点积。