泰勒展开：从定理到复分析

泰勒展开：从定理到复分析

泰勒展开是数学分析中的一个重要工具，它将一个函数表示为无穷级数的形式，从而可以方便地进行计算和分析。本文将从泰勒定理及其余项出发，逐步介绍泰勒展开的相关内容，包括傅里叶级数、魏尔斯特拉斯逼近定理、泰勒级数以及复分析中的泰勒级数等。

泰勒定理及其余项

泰勒定理描述了如何用一个多项式来近似表示一个函数。具体来说，如果函数$f$在点$a$处$n+1$阶可微，那么对于$a$的邻域内的任意一点$x$，都有：

$$ f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f^{(2)}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x) $$

其中$R_n(x)$称为泰勒公式的余项。

泰勒展开的核心思想是用一个多项式$P_n(x)$来近似表示函数$f(x)$。那么为什么这样的多项式近似总是存在呢？这涉及到函数空间的基的概念。我们知道，${1,x,x^2,x^3,\cdots}$作为函数空间的一组基，具有无限的近似能力，也就是说空间中任何一个函数都可以在这组基下找到一个线性表示。

特别地，如果函数高阶可微的话，那么表示系数正比于函数的各阶导数。严格的来说，有魏尔斯特拉斯第一逼近定理：

维尔斯特拉斯定理
对于定义在区间$[a,b]$上的每个连续函数$f(x)$，存在一组多项式函数$P_{n}(n=0,1,2,...)$，当n趋向于无穷大时，近似于$[a,b]$上具有一致收敛的$f(x)$，也就是说

$$ \lim_{n\rightarrow \infty }\left(\max_{a\leq x\leq b}\left|f(x)-P_{n}(x)\right|\right)=0 $$

举一个特殊的例子：

$$ f(x)=|x|=\max{-x,x} $$

我们考虑这个函数在$x=0$附近的多项式近似，显然$f$在$x=0$不可微。但是我们知道这样一个事实：

$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{x^n+(-x)^n}=\max{x,-x}=|x| $$

那么我们就可以用一个光滑函数：

$$ \sqrt[n]{x^n+(-x)^n} $$

来近似$f$，而这个光滑函数又可以用泰勒定理来展开。我们就间接找到了一个多项式近似（渐进无偏的），逼近过程如图：

作为类比，我们可以用三角函数基${1,\sin x, \cos x, \sin 2x, \cdots}$来表示任何一个函数（魏尔斯特拉斯第二逼近定理给出了这个结论），这就成为常见的傅里叶级数，逼近过程如图：

近似的程度如何？

泰勒展开的近似程度用余项（残差项）来描述，常见的余项有三种。

Peano余项

$$ R_n(x)=o\left[(x-a)^n\right] $$

其中$o(\cdot)$表示高阶无穷小。这是粗略的一种余项。

Lagrange余项

$$ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\theta)}{(n+1)!}(x-a)^{(n+1)} $$

其中$\theta\in (a,x)$（当$x$小于$a$的时候换一下区间限即可，所以我们不妨设$a\lt x$）。

积分余项

$$ R_n(x)=\int_a^x \frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt $$

显然这个余项对$f^{(n+1)}$的可导性有一些要求。

泰勒级数

泰勒级数是一类特殊的函数项无穷级数——幂级数。也即：

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$

众所周知幂级数拥有优良的性质——内闭一致收敛。由此可以证明它在收敛域（除去边界点）$(a-R,a+R)$内：

• 和函数连续
• 和函数有连续的导数
• 和函数黎曼可积
• 级数可以逐项求导，求导后收敛半径不变
• 级数可以逐项积分，积分后收敛半径不变

需要特别注意边界点的收敛性。下面这个定理正是泰勒定理在幂级数中的运用，用余项的处处收敛性阐述了级数的收敛性：

定理
若$f:(a-R,a+R)\to\mathbb{R}$ 满足$f\in C^\infty$，则$f$在$(-R,R)$内能展开为幂级数的充分必要条件为：

$$ \lim_{n\to \infty}R_n(x)=0,\quad \forall x\in(a-R,a+R) $$

此处$R$即是收敛半径。此外不难验证，泰勒级数的系数是唯一的，利用这一点我们可以完成某些证明。

特别的如果是在$a=0$展开的泰勒级数，我们称之为麦克劳林级数，一些常用的基本初等函数的麦克劳林级数列举如下：

• $x\in(-1,1)$

$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\cdots $$

• $x\in \mathbb{R}$

$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots $$

• $x\in \mathbb{R}$

$$ \sin x =x -\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots $$

• $x\in \mathbb{R}$

$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots $$

• $x\in (-1,1]$

$$ \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots $$

• $x\in(-1,1)$

$$ (1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}{2!}x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+\cdots $$

• $x\in(-1,1)$

$$ \arctan x = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\cdots $$

• $x\in(-1,1)$

$$ \arcsin x = x+\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}+\frac{3!!}{2^33!}\frac{x^5}{5}+\cdots $$

利用幂级数的逐项可导，逐项可积和上面这些公式。我们还可以求出各种五花八门的级数。

复分析中的泰勒级数

我们再来看一下复数域下的泰勒级数：

$$ f(z)=\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n $$

以下给出几个论断：

• 复变量函数的函数项幂级数和实数的幂级数性质类似，都有很好的性质（Abel定理）
• 幂级数的收敛半径就是展开点和最近的奇点之间的距离
• 所有的全纯函数无穷阶可微，因而存在泰勒级数

我们重点来看收敛半径，半径这个词在实数域内非常地别扭，勉强理解为收敛区间$(a-R,a+R)$的半径。但还是不够自然。

如果在复数域内来看，一切就顺理成章了，还可以解释一些现象。例如：

$$ \begin{aligned} f(x)&=\frac{1}{1-x^2}=\sum_{n=0}^\infty x^{2n}\ g(x)&=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^{2n} \end{aligned} $$

这两个泰勒级数的收敛半径都是1。$f(x)$非常的自然，因为这个函数在$\pm 1$是间断点，级数没法越过这个点收敛。但是$g(x)$就很反常，这个函数在整个实轴上都是良好定义的，展开的级数却只在$(-1,1)$内收敛。这个现象只有在复平面上才能得到合理的解释：

$$ g(\pm i) = \frac{1}{1+i^2}=\infty $$

所以

$$ i,\quad -i $$

是$g$的奇点（不解析点）。收敛圆周不能越过这个两个点，换言之收敛半径被这个两个点控制，所以收敛半径才是1。更进一步，$f$和$g$在复变函数的观点下，只是一个旋转变换$g(z)=f(iz)$，整个函数逆时针旋转$\pi/4$。他们的图像是同一个曲面，收敛域被同一个尖尖控制：

如此一来，我们在复平面上看到了一切的原因。我们再给出一个通过复分析方法解决实数问题的例子，来说明这种观点的启发性。

龙格现象

前面介绍了魏尔斯特拉斯逼近定理，此定理一个重要的实践就是多项式插值。和我们前面做的多项式逼近略有不同。很像统计学里面总体模型和样本的差别。$f$的多项式逼近是总体的模型，是直接从函数本身下手，而如果我们拿到了$f$一些特定点的函数值，那么可以用这些点进行多项式插值，用拟合的多项式来估计$f$。

而龙格现象描述的就是在插值的过程中的一种错误行为导致的现象。考虑以下龙格函数：

$$ f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}} $$

龙格发现如果使用$\le n$阶多项式$P_{n}(x)$在$−1$与$1$之间按照

$$ x_{i}=-1+(i-1){\frac{2}{n}},\quad i\in \left{1,2,\dots ,n+1\right} $$

这样的等距点$x_i$进行插值，那么在接近端点$−1$与$1$的地方插值结果就会出现大幅度的震荡。可以证明，在多项式的阶数增高时插值误差甚至会趋向无限大：

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\max_{-1\leq x\leq 1}\left|f(x)-P_{n}(x)\right|\right)=\infty $$

下图红色为龙格函数，蓝色为5次多项式插值，绿色为9次多项式插值。

这个现象乍看非常的诡异，在实数范围内依然无法解释。因为龙格函数是一个良好定义，处处光滑的函数，这样一个好函数都不能在等距插值下收敛，那么这个方法是不是完全错误了？

我们切换到复平面考虑这个问题。可以证明，当且仅当$f$在龙格区域解析的时候上述误差收敛到0，龙格区域的边界满足方程：

$$ \log4=\Re[(z+1)\log(z+1)-(z-1)\log(z-1)] $$

也就是下图所示区域

所以龙格函数不能被等距插值多项式很好的逼近，原因在于解析域不够大，在龙格区域内有奇点$\pm 0.2i$。

参考文献：

1. 维基百科
2. 王绵森编著《工科数学分析基础》第二版，高等教育出版社，【第四章】泰勒定理、函数项级数、无穷维分析等内容
3. 齐民友译著《复分析可视化方法》，人民邮电出版社，【第二章】复变函数幂级数
4. Approximation Theory and Approximation PracticeBy Lloyd N. Trefethen，【Chapter 11-13】龙格现象及其详细解释
5. 在B站看到过一个视频，讲过龙格现象的解释，内容也是参考上面这本书的：https://www.bilibili.com/video/BV1R44y177Jp