用微积分证明圆锥体积公式

用微积分证明圆锥体积公式

众所周知，圆锥的体积是它同高同底面积的圆柱体积的1/3。但是，这个结论是如何证明的呢？本文将通过一个有趣的故事，讲述如何使用微积分来证明这个结论。

假设有一个圆锥，其底面半径为(r)，高为(h_1)。为了证明圆锥体积是同高同底面积圆柱体积的1/3，我们首先需要找到圆锥体积的表达式。

从体积定义入手

体积(V)的定义是高度(h)与底面积(S)的乘积，即(V = hS)。如果我们以(S)为(y)轴，以(h)为(x)轴建立平面直角坐标系，那么体积(V)就表示为红色阴影的面积。

为了找到圆锥的体积表达式，我们需要确定圆锥的高(h)和在该高下的底面积(S)的关系。

寻找(S)与(h)的关系

将圆锥纵向切开，得到一个三角形。假设圆锥的底面圆面积为(S_1)，高为(h_1)。

由于直接用(S)表示比较抽象，我们将其转换为半径(r)的表示方式。设圆的半径为(r)，则有(S = \pi r^2)。

通过相似三角形的性质，我们可以得到：

[
\frac{h_1 - \Delta h}{h_1} = \frac{\Delta r}{r}
]

整理得到：

[
r h_1 - r \Delta h = h_1 \Delta r
]

[
r - \frac{r}{h_1} \Delta h = \Delta r
]

因此，(S)与(h)的关系为：

[
S = \pi \left(r - \frac{r}{h_1} h\right)^2
]

其中(r)和(h_1)都是常量。

应用牛顿-莱布尼茨公式

为了求出圆锥体积，我们需要计算上述函数在区间([0, h_1])上的定积分。这里我们应用牛顿-莱布尼茨公式：

如果函数(f(x))在区间([a, b])上连续，且存在原函数(F(x))，则：

[
\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)
]

对于函数(f(x) = \pi \left(\frac{r}{h_1} x - r\right)^2)，其原函数(F(x))可以是：

[
F(x) = \frac{\pi}{3} \left(r - \frac{r}{h_1} h\right)^3
]

将(x = 0)和(x = h_1)代入，得到：

[
F(h_1) - F(0) = \frac{\pi}{3} r^3
]

这表明圆锥的体积是底面积为(\pi r^2)、高为(r)的圆柱体积的1/3。通过推广，我们可以得出圆锥体积是同高同底面积圆柱体积的1/3的结论。