天体测距之三角测量
天体测距之三角测量
天体测距是天文学中的一个重要课题，其中三角测量法是一种基础且有效的方法。本文将详细介绍三角测量法的原理及其在天体测距中的应用，帮助读者理解这一重要的天文测量技术。
一、引言
视差法测距是天文学中用来测量近距离天体（如太阳系内的行星和恒星）距离的一种有效手段。这一方法基于三角测量原理，利用地球在公转轨道上不同位置观察天体的视觉差异来计算距离。在实际测量过程中，天文学家通常会在地球公转轨道上选取相隔半年的两个位置，对同一天体进行观测。这实质上等同于在同一天文台，分别在半年前后对天体进行两次观测。通过这种方式，可以精确地捕捉到天体的视差变化，从而计算出其与地球之间的距离（如下图所示）。
二、三角测距原理
三角测量的原理跟双目视觉测量深度的原理类似，如下图所示：
- $O_l$ 和 $O_r$：相机的光心，T ≈ 2 AU
- f：相机的焦距
- P：观测的天体
- $x_l$ 和 $x_r$：点P在左右相机的投影位置
- $x_l$ 和 $x_r$：像平面左边缘到P投影位置的距离
- Z：是天体到$O_lO_r$的距离。我们要测的天体距离实际是$PO_l$或$PO_r$。
接下来，我们简单推导。 首先，$\triangle Px^lx^r \sim \triangle PO_lO_r$， 因此有：
$$
\frac{x^{l} x^{r}}{T} =\frac{Z-f}{Z}
$$
进一步可改写为：
$$
\frac{T-\left(x_{l}-x_{r}\right)}{T}=\frac{Z-f}{Z}
$$
这里的$d = x_l - x_r$被称为视差，最后
$$
Z=\frac{f \cdot T}{x_{l}-x_{r}}
$$
那么，地球到天体的距离$PO_l$可以通过下式得到：
$$
|PO_l| = \sqrt {Z^2+ T^2/4}
$$
三、秒差距
在天体测距中，秒差距（英文Parsec，缩写pc）是天文学上的一种常用的长度单位。以地球公转轨道的平均半径（一个天文单位，AU）为底边所对应的三角形内角称为视差。当这个角的大小为1秒时（也就是上图中$\angle O_lPO_r = 2''$），这个三角形（由于1秒的角的所对应的两条边的长度差异完全可以忽略，因此，这个三角形可以想象成锐角三角形，也可以想象成等腰三角形）的一条边的长度（地球到这个恒星的距离）就称为1秒差距。
$$
1\text{pc} = \frac{1 \text{AU}}{\tan 1''} \approx \frac{1 \text{AU}}{ 1''} = 206,265 \text{AU} \approx 3.26 \text{光年}
$$
注意，这里看上去像是天体到太阳的距离，而非到地球的距离。实际上，因为天体距离较远的话，视差角很小，二者近似相等。
时差法适用于测量较近的天体，如太阳系内的行星、小行星、彗星以及一些最近的恒星。对于更远的天体，视差角太小，无法用地面上的仪器直接测量，因此需要使用其他方法来估计距离。
四、参考资料
知乎：双目相机模型–三角测量Triangulation