线性代数的一些理解（更新中）
线性代数的一些理解（更新中）
线性代数是数学中的一个重要分支，广泛应用于工程、物理、计算机科学等领域。本文通过具体例子，深入浅出地解释了线性代数中的两个核心概念：状态转移方程和协方差矩阵。
1. 状态转移方程
以小车运行为例子。一个车匀速在一维坐标前行，速度是2米每秒，起始点是0。如何描述？
设 (x(t)) 表示车辆在时间 (t) 时的位置。根据匀速运动的定义，车辆的速度是恒定的，为 2 米每秒。因此，车辆的位置随时间的变化可以用以下线性方程表示：
[x(t) = 2t]
其中，(x(t)) 表示车辆在时间 (t) 时的位置（单位：米），(t) 表示时间（单位：秒），(2t) 表示车辆在时间 (t) 时已经行驶的距离。
在线性代数中，这个应该怎么写呢？
我们可以将位置 (x(t)) 视为一个列向量，时间 (t) 视为一个标量，速度 (v) 视为一个常数。
假设时间从 (t_0) 到 (t_f)，我们可以将时间区间分成 (N) 个离散时间步长。每个时间步长的长度为 (\Delta t = \frac{t_f - t_0}{N})。
我们可以使用以下线性方程来描述车辆的位置随时间的变化：
[x(t_{i+1}) = x(t_i) + v\Delta t]
其中 (x(t_i)) 表示车辆在时间 (t_i) 的位置，(x(t_{i+1})) 表示车辆在时间 (t_{i+1}) 的位置，(v) 表示车辆的速度。
将其转换成矩阵形式：
其中，第一个矩阵是转移矩阵 (A)，它将 (x(t_i)) 映射到 (x(t_{i+1}))；第二个矩阵是状态向量，包含了初始位置 (x(t_0)) 和车辆的速度 (v)。
另外一种写法：
设状态向量为 (x = [x, v]^T)，其中 (x) 表示位置，(v) 表示速度。则状态转移方程可以表示为：
其中，(x_{t+1}) 是下一个时刻的状态向量，(x_t) 是当前时刻的状态向量，(a) 是常量加速度。第一个矩阵是状态转移矩阵，描述了状态变量的演变规律；第二个矩阵描述了加速度对状态变量的影响。
观测方程可以根据具体情况来定义，一般形式为 (z_t = Hx_t + noise)，其中 (z_t) 是观测值，(H) 是观测矩阵，描述了观测如何与状态相关联。
初始状态可以表示为 (x_0 = [x_0, v_0]^T)，其中 (x_0) 和 (v_0) 是初始位置和速度。
还有一种写法是包含加速度：
如果状态向量需要增加加速度，则状态向量的维度需要扩展，同时更新状态转移方程和观测方程。假设状态向量为 (x = [x, v, a]^T)，其中 (x) 表示位置，(v) 表示速度，(a) 表示加速度，则状态转移方程可以表示为：
其中 (x_t) 是初始位置，(x') 是速度，(x'') 是加速度。上面的矩阵，等价于：
这里再复习一下矩阵乘法。矩阵乘法其实就是方程的另一种表现形式，写成矩阵并不是为了装逼，在计算机中，矩阵乘法可以显著加速运算（算法矩阵提速原理-CSDN博客），所以都写成矩阵模式。个人觉得有些教程还可以先写成方程组的形式，方便理解。
假设我们有一个 2×2 矩阵 A 和一个 2×1 矩阵 B：
我们想要计算它们的乘积 C=A×B。
[c_1 = (1×5)+(2×6)=5+12=17]
[c_2 = (3×5)+(4×6)=15+24=39]
2. 协方差矩阵
假设我们有两个随机变量，分别表示一个人的身高和体重。我们想要描述这两个变量之间的关系，我们可以使用一个 2x2 的协方差矩阵来表示。
假设身高的标准差为 10 厘米，体重的标准差为 5 公斤，而身高和体重之间的相关系数为 0.7。
协方差矩阵 P 将如下所示：
身高方差 = (身高标准差)平方 = 1010 = 100 平方厘米
体重方差 = (体重标准差)平方 = 55 = 25 平方公斤
身高与体重的协方差 = 相关系数×(身高标准差)×(体重标准差) = 0.7×10×5 = 35 平方厘米\公斤
因此，协方差矩阵为：