使用割线法求解非线性方程
使用割线法求解非线性方程
割线法（Secant Method）是数值分析中用于求解非线性方程根的一种迭代方法。与牛顿-拉夫森方法相比，割线法不需要计算导数，因此在某些情况下更易于应用。本文将详细介绍割线法的原理、迭代过程，并通过一个具体的MATLAB实例，展示如何使用割线法求解非线性方程。
割线法的介绍
两点割线法（也称为割线法）是求解非线性方程根的一种迭代方法。它是一种开放方法，与牛顿-拉夫森方法相似，但不需要计算导数，因此在某些情况下更易于应用。这种方法基于线性插值的概念，通过连续估计方程的根来迭代求解。割线法使用两个初始估计值，这两点之间的割线斜率用于逼近方程的根。
割线法的详细解释
如下图所示：
- 选择两个初始近似值$x_{n-1}$和$x_n$（当$n = 1$时为$x_0$和$x_1$），它们分别是方程$f(x) = 0$的两个近似根。
- 计算函数值$f(x_{n-1})$和$f(x_n)$。
- 迭代过程：
- 使用$x_{n-1}$和$x_n$之间的割线斜率来估计方程的根。割线斜率可以表示为$\frac{f(x_n)-f(x_{n-1})}{x_n-x_{n-1}}$。
- 计算新的估计值$x_{n+1}$，使用公式：
$$
x_{n+1} = x_n - f(x_n) \cdot \frac{x_n - x_{n-1}}{f(x_n) - f(x_{n-1})}
$$
其中$n$代表迭代次数。
- 更新估计值并重新迭代：用$x_n$替换$x_{n-1}$，$x_{n+1}$替换$x_n$，然后重复步骤2和3，直到满足某个终止条件，例如$|f(x_{n+1})| < \epsilon$或$|x_{n+1} - x_n| < \epsilon$，其中$\epsilon$是预先设定的容忍误差。
两种割线法
在使用两点割线法求解非线性方程时，主要有两种不同的策略或方法：
- 基本割线法：这是最直接的割线法形式，如上所述，仅涉及两个初始估计值和迭代更新过程。在每次迭代中，使用最新的两个估计值来计算下一个近似根。
- 改进的割线法（或变种）：这些方法可能会引入其他元素以改进基本割线法的性能或收敛特性。例如，一种改进的割线法可能会在每次迭代中动态选择两个用于计算下一近似根的点，而不是简单地使用最近的两个估计值。这种选择可能基于函数值的大小、斜率的变化或其他准则，目的是加速收敛或提高稳定性。
实例及对应MATLAB代码
考虑方程$f(x) = \cos(x) - x$，这是一个非线性方程，没有简单的代数解。使用两点割线法求解这个方程时，我们从两个初始估计值开始：$x_0 = 0$和$x_1 = 1$。下面是解决这个实例的MATLAB代码：
function root = secant_method()
%SECANT_METHOD 使用割线法求解非线性方程
% 定义目标函数
f = @(x) cos(x) - x; % f: 目标函数句柄
% 设置初始近似值和参数
x0 = 0;
x1 = 1; % x0, x1: 两个初始近似值
tol = 1e-5; % tol: 容忍误差，用于判断收敛条件
max_iter = 100; % max_iter: 最大迭代次数
for iter = 1:max_iter
fx0 = f(x0);
fx1 = f(x1);
% 计算新的近似根
x2 = x1 - (fx1 * (x1 - x0)) / (fx1 - fx0);
% 检查收敛条件
if abs(f(x2)) < tol
root = x2;
fprintf('找到根 x = %f 在 %d 次迭代后\n', root, iter);
return;
end
% 更新近似值
x0 = x1;
x1 = x2;
end
% 如果达到最大迭代次数仍未满足容忍误差，则输出最后的估计值
root = x2;
fprintf('达到最大迭代次数。最后的估计根 x = %f\n', root);
end
这段代码定义了一个名为 secant_method 的函数，它实现了割线法的逻辑。函数接受一个函数句柄 f（在这个例子中是 $\cos(x) - x$），两个初始近似值 $x_0$ 和 $x_1$，一个容忍误差 tol 用于判断何时停止迭代，以及一个最大迭代次数 max_iter。
在 secant_method 函数中，通过迭代更新 $x_0$ 和 $x_1$ 来逐渐逼近方程的根。每次迭代后，如果新计算的近似根的函数值小于容忍误差 tol，则认为已经找到根，并结束迭代。如果迭代次数达到 max_iter 但仍未找到满足容忍误差的根，则输出最后计算的近似根。
最后代码的运行结果为：
通过迭代计算，我们得到了方程的根 $x \approx 0.7391$。这个例子说明，通过迭代更新估计值，并利用函数在当前估计点的值，割线法能够有效地逼近方程的真实根。此外，该方法的实现相对简单，不需要求导数，这在实际应用中是一个显著优势。