微积分的核心概念：导数、极限与洛必达法则
微积分的核心概念：导数、极限与洛必达法则
微积分是现代数学的基础，其中导数和极限的概念尤为重要。本文将从导数的正式定义出发，深入探讨极限的(ϵ,δ)定义，并介绍处理不定式极限的洛必达法则。通过具体的数学公式和图像解释，帮助读者更好地理解这些核心概念。
1. 导数的正式定义
在t的位置对函数f(x)求导：
$$
\frac{df}{dx}(t)=\lim_{h \to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}
$$
这里h等价于dx，dx用来表示函数f取值的具体有限小的变化量。讨论极限时，关注的是变量逼近于0时的影响，而不是无穷小的变化量的影响。
2. 极限的(ϵ,δ)定义
考虑函数：
$$
f(h)=\frac{(2+h)^3-2^3}{h}
$$
其图像如下：
对于函数$f(h)=\frac{(2+h)^3-2^3}{h}$，当h=0的时候，函数值变成$\frac{0}{0}$，在这个点并没有明确的值，我们用一个空心圆来表示这个间断点。但当h无限接近0的时候，函数仍然有意义，函数值逼近于12，而这个结果，和函数从哪一边逼近无关。
逼近的定义：对于x=0附近的一些取值，当取值范围在0附近不断缩小时，函数范围越来越接近12。
极限存在：总能在极限点附近，离这一点距离为δ的取值范围内，找到一系列取值点，使得这范围内的任一个取值点，其函数值都在到某个值的距离为ϵ的范围之内。这种情况，对任意ϵ都成立。无论ϵ多么小，总能找到与之对应的δ值。
下图是一个极限不存在的一个例子：找到一个足够小的ϵ，例如0.04，无论δ多么小，对应的函数值，都不能完全位于两个ϵ构成的区间内，找不到任何可以逼近的极限值，所以极限不存在。
3. 洛必达法则
引例
如何求：
$$
\lim_{x \to 1}\frac{\sin(\pi{x})}{x^2-1}
$$
直接把1代入函数，分子和分母都是0，无法直接获得函数逼近x = 1的结果。
下面分别给出分子$\sin(\pi x)$和分母$x^2-1$的函数图像
当x = 1时，两个函数的值都为0，都穿过x轴。考虑微小变化量dx对函数的影响。
当x = 1时，$\sin(\pi x)$函数值的变化量为：
$$
d(\sin(\pi x))=\cos(\pi x) \pi dx=-\pi dx
$$
同理得：
$$
d(x^2-1)=2xdx=2dx
$$
则有：
$$
\lim_{x \to 1}\frac{\sin(\pi{x})}{x^2-1}=\frac{-\pi dx}{2dx}=\frac{-\pi}{2}
$$
所以当x逼近于1时，这个极限的精确值为$\frac{-\pi}{2}$
一般情况
考虑任意两个函数f(x)和g(x)，它们在x = a处可导，且g(a) = f(a) = 0，如何计算：
$$
\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}
$$
因为g(a) = f(a) = 0，所以并不能直接计算$\frac{f(a)}{g(a)}$的值。因此，我们要求x逼近于a时的极限值。
两个函数在x = a处都可导，意味着在无限放大之后，他们可以被看作是直线。如下图：
考虑一个到x = a的距离为dx的点，对函数f(x)，该点的函数值，非常接近该点的导数值和dx的乘积，即$\frac{df}{dx}(a)dx$。
同理，对函数g(x)，这个值大约是$\frac{dg}{dx}(a)dx$。
当dx越小的时候，$\frac{df}{dx}(a)dx$和$\frac{dg}{dx}(a)dx$就越接近x = a的函数值，甚至可以等同于极限的精确值，则有：
$$
\lim_{x \to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{df}{dx}(a)dx}{\frac{dg}{dx}(a)dx}=\frac{\frac{df}{dx}(a)}{\frac{dg}{dx}(a)}
$$
当要计算$\frac{0}{0}$型函数的极限的时候，可以使用这个技巧，对分子分母分别求导，并代入极限点的取值。
这一技巧就叫做洛必达法则。
洛必达法则的应用前提
回顾一开始对导数的定义：
$$
\frac{df}{dx}(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
$$
本质上就是计算$\frac{0}{0}$型函数的极限，那是不是就可以使用洛必达法则暴力求解了呢？很遗憾，如果不知道分子的导数，则无法使用洛必达法则。因此，洛必达法则的一个应用前提就是——分子分母都可导。
参考资料：【官方双语】微积分的本质 - 07 - 极限.