量化投资实战：配对交易策略之协整模型法
量化投资实战：配对交易策略之协整模型法
配对交易（Pairing Trading）是一种市场中性投资策略，最早起源于20世纪20年代。它通过寻找历史股价走势相近的股票进行配对，当配对的股票价格差偏离历史均值时，做空股价较高的股票同时买进股价较低的股票，等待它们回归到长期均衡关系，从而赚取两股票价格收敛的报酬。
1. 初识配对交易策略
配对交易（Pairing Trading）是指八十年代中期华尔街著名投行Morgan Stanley的数量交易员Nunzio Tartaglia成立的一个数量分析团队提出的一种市场中性投资策略，其成员主要是物理学家、数学家、以及计算机学家。
Ganapathy Vidyamurthy在《Pairs Trading: Quantitative Methods and Analysis》一书中定义配对交易为两种类型：一是基于统计套利的配对交易，二是基于风险套利（并购套利）的配对交易。
基于风险套利的配对交易策略是一种相当复杂的交易策略，它包括两种基本类型：债务重组和收购兼并。在换股并购中，风险套利者通常做多被收购公司的股票，同时做空收购公司的股票；在现金并购中，风险套利者寻求收购价格与目标公司价格之间的差异。
基于统计套利的配对交易策略是一种市场中性策略，具体的说，是指从市场上找出历史股价走势相近的股票进行配对，当配对的股票价格差偏离历史均值时，则做空股价较高的股票同时买进股价较低的股票，等待他们回归到长期均衡关系，由此赚取两股票价格收敛的报酬。
2. 配对交易的思想
配对交易的思想最早起源于20世纪20年代，华尔街交易员 Jesse Lauriston Livermore 在投资实战中采用的姐妹对(Sister Stocks)交易策略。他发现两只同行业内业务相似的股票，其价格波动趋势有某种规律，即两者的价差会构成一种均衡关系。若在两只股票价格偏离较大时建仓，价差回复时平仓，便会赚取价差由发散至收敛带来的收益。
随着数理金融学和计算机技术的不断发展，到了20世纪80年代，配对交易策略在华尔街得到巨大关注。1985年，华尔街投资银行摩根士丹利(Morgan Stanley)的天体物理学家 努齐奥·塔塔里亚(Nunzio Tartaglia)组建了一个由著名物理学家、计算机学家和数学家构成的数量化分析团队，该团队以数学模型计算股票买卖组合，并开发计算机自动交易程序，在当时华尔街投资实战中大获成功。该程序运用的买卖组合策略即是配对交易策略，与传统的主观技术分析不同，摩根士丹利的交易程序对于股票对的选择、交易参数的设定与交易规则的制定，都采取量化分析的手段并由计算机程序自动完成，自此以后，这种量化投资策略逐渐广为人知并流传开来。时至今日，配对交易己经衍生出众多模型和交易规则，并为各种避险基金和股票投资者使用。
有关配对交易的学术研究也不胜枚举。Gatev，Goetzmann 和Rouwenhorst（1999）采用最小距离法寻找历史价格最近的20组股票对，计算其标准化股票价格差序列，进场交易策略是标准价差超过2倍标准差，运用买低卖高的策略，年化收益率可达11%以上；Vidyamurthy（2004）把协整理论运用到配对交易的股票对选择中，并将平稳性作为配对好坏的判别准侧，从股票基本面或历史资料挑选出潜在具有协整关系之配对股票；崔方达和吴亮（2011）以上证50指数成分股为样本，运用最小距离法进行配对交易，最终得出配对交易与市场风险无关并可获利。
3. 配对交易的步骤
配对交易策略 的时期分为 形成期（Formation Period）和 交易期（Trading Period）。在形成期挑选历史走势存在规律的股票对，并制定交易策略；在交易期模拟开仓平仓交易，而后计算收益。在整个配对交易策略过程中，具体需要考虑如下问题：
（1）如何挑选进行配对的股票？
（2）挑选好股票对以后，如何制定交易策略？开仓点如何设置？
（3）开仓时，两只股票如何进行多空仓配比？
3.1 协整模型法
协整方法（Cointegration method）是由 Granger（1987）提出的，已成为了分析非平稳经济变量之间数量关系的最主要工具之一。
金融资产的对数价格一般可以视为一阶单整序列。设P t X P_t^XPtX 表示X XX股票在第t tt日的价格，如果X XX股票的对数价格{ l o g ( P t X ) } ( t = 1 , 2 , ⋯ , T ) {log(P_t^X)}(t=1,2,\cdots,T){log(PtX )}(t=1,2,⋯,T)是非平稳时间序列，且
{ l o g ( P t X ) − l o g ( P t − 1 X ) } ( t = 1 , 2 , ⋯ , T ) {log(P_t^X) - log(P_{t-1}^X)}(t=1,2,\cdots,T){log(PtX )−log(Pt−1X )}(t=1,2,⋯,T)
是平稳的，则称X XX股票的对数价格{ l o g ( P t X ) } ( t = 1 , 2 , ⋯ , T ) {log(P_t^X)}(t=1,2,\cdots,T){log(PtX )}(t=1,2,⋯,T)是一阶单整序列。
股票X XX的对数价格的差分序列可表达如下：
log ( P t X ) − log ( P t − 1 X ) = log ( P t X P t − 1 X ) = log ( 1 + r t X ) ≈ r t X \log \left(\boldsymbol{P}{t}^{X}\right)-\log \left(\boldsymbol{P}{t-1}^{X}\right)=\log \left(\frac{\boldsymbol{P}{t}^{X}}{\boldsymbol{P}{t-1}^{X}}\right)=\log \left(1+\boldsymbol{r}{t}^{X}\right) \approx \boldsymbol{r}{t}^{X}log(PtX )−log(Pt−1X )=log(Pt−1X PtX )=log(1+rtX )≈rtX
即X XX股票的简单单期收益率序列{ r t X } {r_t^X}{rtX }是平稳的。
3.2 配对交易策略的制定（协整模型法）
判断两只股票的历史价格是否具有协整关系？即检验两只股票的对数价格序列是否是一阶单整序列，或者检验两只股票的收益率序列是否是平稳时间序列。
首先，以中国银行和浦发银行的对数价格序列为例进行一阶单整检验。其中，arch包的ADF()函数可以通过单位根方法对序列的平稳性进行检验。
ADF 单位根检验的原假设是“序列存在单位根”
- 如果接受原假设（即 P_value 值大于显著水平系数），则被检验的序列存在单位根，即序列是非平稳的
- 如果拒绝原假设（即 P_value 值小于显著水平系数），则被检验的序列不存在单位根，即序列是平稳的
接着，以中国银行和浦发银行的对数价格序列为例进行协整检验。假设{ l o g ( P t X ) } , t = 1 , 2 , … , T {log(P_t^X)},t=1,2,\dots,T{log(PtX )},t=1,2,…,T和{ l o g ( P t Y ) } , t = 1 , 2 , … , T {log(P_t^Y)},t=1,2,\dots,T{log(PtY )},t=1,2,…,T分别表示X XX股票和Y YY股票的对数价格序列，则 Engle 和 Granger 两步法可以对时间序列和协整关系进行检验。
在{ l o g ( P t X ) } {log(P_t^X)}{log(PtX )}和{ l o g ( P t Y ) } {log(P_t^Y)}{log(PtY )}都是一阶单整的前提下，用最小二乘法构造回归方程：
l o g ( P t Y ) = α + β l o g ( P t X ) + ϵ t log(P_t^Y) = \alpha + \beta log(P_t^X) + \epsilon_tlog(PtY )=α+βlog(PtX )+ϵt
得到回归系数α ^ \hat{\alpha}α^和β ^ \hat{\beta}β^ ，构造残差估计值：
ϵ ^ t = l o g ( P t Y ) − ( α ^ + β ^ l o g ( P t X ) ) \hat{\epsilon}_t = log(P_t^Y) - (\hat{\alpha} +\hat{\beta} log(P_t^X))ϵ^t =log(PtY )−(α^+β^ log(PtX ))
并检验{ ϵ t ^ } {\hat{\epsilon_t}}{ϵt ^ }序列的平稳性。如果{ ϵ t ^ } {\hat{\epsilon_t}}{ϵt ^ }序列是平稳的，则说明{ l o g ( P t X ) } {log(P_t^X)}{log(PtX )}和{ l o g ( P t Y ) } {log(P_t^Y)}{log(PtY )}具有协整关系。
最后，运用协整理论和协整模型挑选出满足价格序列具有协整关系的股票对进行配对交易。
4. 协整模型法之Python实战
4.1 读取数据
# 安装arch包（当然也可以在prompt下安装）
!pip install arch
# 导入包
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 字体设置
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False # 负号显示问题
from arch.unitroot import ADF # 协整关系检验
import statsmodels.api as sm
# 读取数据
sh = pd.read_csv('sh50.csv',index_col='Trddt')
sh.index = pd.to_datetime(sh.index)
sh.head()
4.2 协整检验
- 形成期
# 提取数据
P_zhonghang = sh['601988'] # 中国银行
P_pufa = sh['600000'] # 浦发银行
# 设置形成期
formStart = '2014-01-01'
formEnd = '2015-01-01'
P_zhonghang_f = P_zhonghang[formStart:formEnd]
P_pufa_f = P_pufa[formStart:formEnd]
# 形成期：协整关系检验
# 中国银行（A）一阶单整检验
log_P_zhonghang_f = np.log(P_zhonghang_f)
adf_zhonghang = ADF(log_P_zhonghang_f)
print(adf_zhonghang.summary().as_text())
结论：原序列没有通过协整检验！（下一步，差分）
# 形成期：差分后的协整检验
adf_zhonghang_diff = ADF(log_P_zhonghang_f.diff()[1:])
print(adf_zhonghang_diff.summary().as_text())
结论：差分序列通过协整检验！
# 形成期：对数序列可视化
log_P_zhonghang_f.plot()
plt.title('图1 中国银行对数收益率序列趋势（形成期）')
plt.show()
# 形成期：差分对数序列可视化
log_P_zhonghang_f.diff()[1:].plot()
plt.title('图2 中国银行差分对数收益率序列趋势（形成期）')
plt.show()
# 同理对浦发银行进行协整检验，详细代码见资源包！
4.3 模型搭建
- 形成期：股票对的回归方程（协整模型）
代码详见资源包！
- 形成期：残差单位根检验（残差序列为价格差序列）
代码详见资源包！
- 构造Pair Trading类（封装协整检验）
代码详见资源包！
# 绘制价差序列图（形成期）
plt.figure(figsize=(10,6))
CoSpreadForm.plot()
plt.title('图5 价差序列(协整配对)（形成期）',loc='center', fontsize=16)
plt.axhline(y=mu,color='black')
plt.axhline(y=mu+0.2*sd,color='blue',ls='-',lw=2)
plt.axhline(y=mu-0.2*sd,color='blue',ls='-',lw=2)
plt.axhline(y=mu+1.5*sd,color='green',ls='--',lw=2.5)
plt.axhline(y=mu-1.5*sd,color='green',ls='--',lw=2.5)
plt.axhline(y=mu+2.5*sd,color='red',ls='-.',lw=3)
plt.axhline(y=mu-2.5*sd,color='red',ls='-.',lw=3)
plt.show()
4.4 模型回测
- 交易期：回测检验
代码详见资源包！
代码详见资源包！
4.5 策略封装
代码详见资源包！
5. 结论
- 观察交易仓位曲线图，可以看出自2015年1月1日到2015年6月底期间，配对交易信号触发不多（计4次）。
- 观察现金曲线图，由于开仓可能需要现金，现金曲线有升有降，而第三次平仓之后获利很多，现金曲线大幅上涨，到6月底，现金部位达到了5992.514元。
- 再观察资产曲线图，配对资产整体呈现上升趋势，资产由2000元转变成5992.514元。
- 整体而言，对中国银行和浦发银行两只股票进行配对交易的策略绩效表现不错。
6. 参考资料
- 蔡立耑. 量化投资以Python为工具[M]. 北京：电子工业出版社，2017.
- PyQuant. 量化投资基础[M]. 北京：科学出版社，2024.
7. 资源包下载
- 链接：https://pan.baidu.com/s/1rj1o8lbQuzFQ0VXzSk647A
- 提取码：1234