层次分析法模型（数学建模学习）
层次分析法模型（数学建模学习）
本系列参考清风老师的数学建模课程
层次分析法模型
一、模型介绍
（一）模型引入
对于方案选择类问题，评价类问题采用层次分析法（The ayalytic hierarchy process / AHP）模型进行评分，之后评分高的就是最佳方案。
（二）模型详解
（1）建立层次结构
分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构。
该层次结构分为：
1.目标层（Objective）
回答问题：评价目标是什么？
2.准则层（Criterion）
回答问题：评价指标是什么？
3.方案层（Plan）
回答问题：可选方案是什么？
将其绘制成层次清晰的示意图。
（2）构造判断矩阵
针对于准则层构造一个判断矩阵。
若有n个可选方案，则可以构造n个判断矩阵。
参考填表的准则：
标度 | 含义 |
|---|---|
1 | 两个因素相比具有同等重要性 |
3 | 一个因素比另一个因素稍微重要 |
5 | 一个因素比另一个因素明显重要 |
7 | 一个因素比另一个因素强烈重要 |
9 | 一个因素比另一个因素极端重要 |
2、4、6、8 | 介于奇数之间重要性 |
倒数 | 与之对应 |
填写判断矩阵的数据一定要有材料支撑。
（3）一致性检验
原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别（定量角度）。
若正互反矩阵中的元素有性质：$a_{ij}×a_{jk}=a_{ik}$，则可以成为一致矩阵。（换句话说就是上下两行必须是成倍数的关系）
但在绝大多数情况下成为严格的一致矩阵不太可能，因此可以规定某个偏离范围，即使偏了一点也行，但不能偏太大，就有了一致性检验。（这块直接跑现成的程序出结果就行了，不介绍计算过程了）
一致性检验的通用步骤为：
1.计算一致性指标CI
$$CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$$
2.查找对应的平均随机一致性指标RI
3.计算一致性比例CR
$$CR=\frac{CI}{RI}$$
4.判断CR是否<0.1，若是则认为一致性可以被接受，否则需要调整判断矩阵。
（4）求指标权重
求解指标权重时需要通过一致性检验，通过后就可以求出了，一共有三种求法。
1.算术平均法求权重
step1:将判断矩阵按照列归一化。
step2:将归一化的各列相加。
step3:将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量。
2.几何平均法求权重
step1:将判断矩阵元素按照行相乘得到一个新的列向量。
step2:将新的向量的每个分量开n次方。
step3:对该列向量进行归一化即可得到权重向量。
3.特征值法求权重
step1:求出判断矩阵的最大特征值以及其对应的特征向量。
step2:对求出的特征向量进行归一化即可得到权重。
（5）计算得分
每一个方案的任意评价指标最终得分=该评价指标在准则层的权重×方案在方案层的权重。
因此任意一个方案的最终得分=各项评价指标之和。
（三）模型举例
（1）举例
从苏杭、北戴河和桂林三个中选择一个作为旅游目的地。
（2）思路
本题属于方案选择类问题，因此使用层次分析法进行分析，考虑以下重要问题：
1.评价目标（目标层）？选择最佳旅游目的地。
2.评价指标（准则层）？（查阅资料后）景点景色、旅游花费、居住环境、饮食情况、交通便利程度。
3.可选方案（方案层）？苏杭、北戴河、桂林。
由以上思路可以得出下图：
（3）整理
设计数据表格，参考层次分析法的通用表格：
指标权重 | 方案1 | 方案2 | … |
|---|---|---|---|
指标1 | |||
指标2 | |||
指标3 | |||
… |
将以上思路内容填入上述通用表格中：
指标权重 | 苏杭 | 北戴河 | 桂林 |
|---|---|---|---|
景色 | |||
花费 | |||
居住 | |||
饮食 | |||
交通 |
解释：指标权重表示各个指标在准则层所占的权重大小值，而之后则代表该指标在方案层所占的权重大小值，因此若要最终评分，一定是准则层（Criterion）中指标权重×方案层（Plan）中指标权重得到最终得分。
（4）数据
之后就可以填写这张表格了。
step1:填写准则层判断矩阵：