【CFD理论】零方程、一方程模型
【CFD理论】零方程、一方程模型
CFD（计算流体力学）中的湍流模型是模拟复杂流动现象的关键工具。本文将介绍两种基本的湍流模型：零方程模型和一方程模型。通过对比分析这些模型的原理、优缺点及其在实际应用中的表现，帮助读者更好地理解湍流模拟的基础理论。
Boussinesq 近似
Boussinesq 假设具体如下：Reynolds应力项实质上体现了湍动产生的湍动应力，而湍动应力与粘性产生的分子粘性应力具有比拟性，见下式。事实上，由于分子运动与湍流脉动之间存在本质上的差别，上述简单地袭用分子运动来比拟湍流脉动在理论上是不严谨的。
式中：Sij是张量的应变速率
Vt是湍流涡粘系数
k是湍流动能
为求得雷诺应力，使方程封闭。还需求得涡粘系数。根据表达式新引入的未知量的个数的不同，涡粘性模型又可分为零方程模型、一方程模型、二方程模型和多方程模型。
零方程模型
不引入更多新的未知量与其对应的输运方程，有混合长度模型、Baldwin-Lomax模型等等。总体来开零方程模型有以下优缺点。
优点
- 应用简单，计算量小
- 对于某些简单的模型，计算效果还不错，如二维平板湍流等
缺点
- 模型虽然可根据特定的流动现象做各种修正，但都不具有普适性；
- 面对复杂湍流状态时，主流区局部特征变化明显，湍动代表长度到底代表什么尺度的涡旋不明确，确定起来有很大困难
混合长度模型
以该模型为代表进行介绍。普朗特将流体微团的湍动和气体分子运动比拟，比照气体分子布朗运动的平均自由程，提出了混合长度概念，即湍动质团要在运行一个混合长度的距离后才和周围流体混合。
通过量纲相似推导出下式：
又有研究表明，t0与壁面附近处的速度梯度成比例，上式又可改写为
对壁面之外的区域，涡粘系数如下式：
综上所述，即为混合长度模型。
然而Fluent里面没有零方程模型可用。
一方程模型
涡粘性系数的表达式中引入一个新的未知量以及其输送方程的涡粘性模型，以下介绍S-A模型。
在fluent theory guide中可以得知以下特点：
- 适用范围：它是专门为涉及壁面流动的航空航天应用而设计的，并且已被证明可以为承受不利压力梯度的边界层提供良好的结果。它在涡轮机械应用中也越来越受欢迎。
- 不适用：Spalart-Allmaras模型是为空气动力学流动而开发的。它没有针对一般工业流动进行校准，并且对于某些自由剪切流，尤其是平面和圆形射流，确实会产生相对较大的误差。
在其原始形式中，Spalart-Allmaras 模型实际上是一个低雷诺数模型，需要正确解析边界层的粘度影响区域。在Ansys Fluent中，Spalart-Allmaras模型已通过 Y+不敏感壁处理进行了扩展，允许应用模型，而不受近壁 Y+ 分辨率的影响。
其中，粘性阻尼函数由下式给出：
输送方程如下：
Fluent中还可以设置湍流产生项：
在fluent theory guide中写到
- 默认选项（仅包括旋转张量）往往会高估涡流粘度的产生，因此会高估涡流内部的涡流粘度本身。
- 同时包括旋转张量和应变张量可减少涡流粘度的产生，从而降低涡度测量值超过应变速率区域的涡流粘度本身。