向量的叉乘

向量的叉乘

亲爱的读者们，你们好！今天，我要带你们走进一个神秘而又充满魔力的世界——向量的叉乘！没错，你没听错，不是“叉烧”也不是“茶歇”，而是“叉乘”！听起来是不是有点像科幻电影里的神秘咒语？

首先，我得坦白告诉你，向量的叉乘可不是什么简单的算术运算，它更像是一种魔法，一种能让两个向量“牵手”共同创造出一个新向量的魔法。而且，这个新向量还有个很酷的特点——它总是垂直于原来的两个向量，就像一个高傲的舞者，永远不愿意和舞伴站在同一条直线上。

你可能会问，这叉乘到底有什么用呢？别急，我这就告诉你。想象一下，你正在玩一个迷宫游戏，你需要找到一条通往宝藏的秘密通道。这时候，向量的叉乘就像是你手中的指南针，它能帮你确定正确的方向，让你在迷宫中不迷路。

当然，要想掌握这个魔法，你需要先了解它的计算公式。不过别担心，这个公式并不像你想象中的那么复杂。它就像是一个简单的食谱，只要你按照步骤来，就能轻松做出美味的叉乘大餐。

那么，还等什么呢？让我们一起踏上这个充满魔力的向量叉乘之旅吧！相信我，当你掌握了这门魔法，你会发现数学的世界原来也可以如此有趣和神奇！

一、向量的叉乘

叉乘（Cross Product）又称向量积（Vector Product）

历史事迹：

1773年，意大利数学家拉格朗日，为了研究三维里的四面体，引入了点乘和叉乘的组成形式，为向量运算奠定了基础。

1843年，爱尔兰数学物理学家哈密顿引入四元数乘积和术语“矢量”、“标量”，将向量运算推广到更一般的代数结构。

1853年，德国的格拉斯曼创造了一种不与二维或三维相关的几何代数，其中“外积”扮演核心角色，为向量的乘积运算提供了更广泛的视角。

1878年，威廉克利福德定义了两个向量的乘积，其量级等于以这两个向量为边的平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量组成的平面，进一步明确了向量叉乘的几何意义。

1881年，美国数学家吉布斯发明了“叉乘”的符号和名称，并在其私下发表的《向量分析原理》笔记中首次出现，为向量叉乘的表述和推广做出了重要贡献。

随后，吉布斯的学生Edwin Bidwell Wilson在他的教材《向量分析》中重新整理了吉布斯的演讲材料，使得叉乘的概念被更多受众所知晓。

在向量的发展过程中，众多数学家和物理学家，如亥维赛和吉布斯等，深感四元数算法的复杂性，因此引入了点乘和叉乘的概念，使得向量运算更为高效和直观。这些贡献推动了向量运算在物理学、工程学等领域的应用，并为现代数学和物理的发展奠定了坚实基础。

二、二维叉乘

参考以下图片，公式其实是交叉相乘后再相减。

参考图片

在交叉相乘后，若相减的顺序发生变化，则会影响结果的正负。

三、二维叉乘几何意义

对于两个二维向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的叉乘计算公式为：A × B = x1 * y2 - x2 * y1。这个公式计算的是两个向量构成的平行四边形的有向面积。当A和B为顺时针方向时，结果为负；当A和B为逆时针方向时，结果为正；当A和B共线时，结果为0。

1. 二维叉乘可以计算平行四边形面积：

平行四边形面积 = 底 * 高；

高等于边长乘sino：

2. 二维叉乘可以判断A、B两者位置关系

图

a*b>0，则b在a的左侧，顺时针方向；

c*a<0，则c有a的右侧，逆时针方向；

四、三维向量叉乘

图

三维叉乘是一个向量：

五、三维向量的叉乘

获得的向量将垂直于两向量，与两向量的点乘为0。

以上就是向量叉乘的内容。

本文原文来自Bilibili