资讯

历史

科技

环境与自然

成长

游戏

财经

文学与艺术

美食

健康

家居

文化

情感

汽车

三农

军事

旅行

运动

教育

生活

星座命理

几种常见阵列的方向向量

创作时间:

作者:

@小白创作中心

几种常见阵列的方向向量

引用

CSDN

https://blog.csdn.net/RICEresearchNOTE/article/details/131731632

一、前言

本文首先介绍天线阵列的数学模型，然后针对均匀线阵、均匀圆阵和平面矩形阵列这几种常见阵列分别总结其方向向量的表达形式。

二、阵列模型

设有一个天线阵列，它由M个具有任意方向性的阵元按任意排列构成。同时设有K个具有相同中心频率ω 0 \omega_0ω0 、波长λ \lambdaλ的空间窄带平面波(M>K), 分别以来向角Θ i \Theta_iΘi 入射到该阵列。其中Θ i = ( θ i , ϕ i ) \Theta_i=(\theta_i,\phi_i)Θi =(θi ,ϕi ),i = 1 , 2 , . . . , K i=1,2,...,Ki=1,2,...,K。θ i \theta_iθi 和ϕ i \phi_iϕi 分别是第i ii个入射信号的仰角和方位角。则阵列第m mm个阵元的输出可表示为：

x m ( t ) = ∑ i = 1 K s i ( t ) e j ω 0 τ m ( Θ i ) + n m ( t ) x_m(t)=\sum_{i=1}^Ks_i(t)e^{j\omega_0\tau_m(\Theta i)}+n_m(t)xm (t)=i=1∑K si (t)ejω0 τm (Θi)+nm (t)

式中，s i ( t ) s_i(t)si (t)为入射到阵列的第i ii个源信号，n m ( t ) n_m(t)nm (t)为加性噪声，τ m ( Θ i ) \tau_m(\Theta_i)τm (Θi )为来自Θ i \Theta_iΘi 方向的源信号投射到m mm个阵元的相对时延。

将上述模型矩阵化：

x ( t ) = A ( Θ ) s ( t ) + n ( t ) \mathbf{x}(t)=\mathbf{A}(\Theta)\mathbf{s}(t)+\mathbf{n}(t)x(t)=A(Θ)s(t)+n(t)

其中A ( Θ ) \mathbf{A}(\Theta)A(Θ)为M × K M\times KM×K的方向矩阵，

A ( Θ ) = [ a ( Θ 1 ) , a ( Θ 2 ) , ⋅ ⋅ ⋅ , a ( Θ K ) ] \mathbf{A}(\Theta)=[\mathbf{a}(\Theta_1),\mathbf{a}(\Theta_2),\cdotp\cdotp\cdotp,\mathbf{a}(\Theta_K)]A(Θ)=[a(Θ1 ),a(Θ2 ),⋅⋅⋅,a(ΘK )]

a ( Θ i ) = [ e j ω 0 τ 1 ( θ i ) , e j ω 0 τ 1 ( θ i ) , ⋯ , e j ω 0 τ 1 ( θ i ) ] T \mathbf{a}(\Theta_i)=[e^{j\omega_0\tau_1(\theta_i)},e^{j\omega_0\tau_1(\theta_i)},\cdots,e^{j\omega_0\tau_1(\theta_i)}]^Ta(Θi )=[ejω0 τ1 (θi ),ejω0 τ1 (θi ),⋯,ejω0 τ1 (θi )]T

三、常见阵列的方向向量

1.均匀线阵

均匀线阵模型为一维模型，通常采用方位角θ \thetaθ来描述信源信号在天线阵列上的波达方向。

第m个阵元相对参考阵元的波程差和相位差为

Δ l = ( m − 1 ) d s i n θ \Delta l=(m-1)dsin\thetaΔl=(m−1)dsinθ

Δ ϕ = 2 π Δ l / λ \Delta \phi=2\pi\Delta l/\lambdaΔϕ=2πΔl/λ

阵元间距为d的均匀线阵的阵列响应矢量为

a ( θ k ) = [ 1 , e j 2 π d s i n θ k / λ , ⋯ , e j 2 π ( M − 1 ) d s i n θ k / λ ] T \mathbf{a}(\theta_k)=[1,e^{j2\pi dsin\theta_k/\lambda},\cdots,e^{j2\pi (M-1)dsin\theta_k/\lambda}]^Ta(θk )=[1,ej2πdsinθk /λ,⋯,ej2π(M−1)dsinθk /λ]T

方向矩阵为

A = [ 1 1 ⋯ 1 e j 2 π d s i n θ 1 / λ e j 2 π d s i n θ 2 / λ ⋯ e j 2 π d s i n θ K / λ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ e j 2 π ( M − 1 ) d s i n θ 1 / λ e j 2 π ( M − 1 ) d s i n θ 2 / λ ⋯ e j 2 π ( M − 1 ) d s i n θ K / λ ] \mathbf{A}=\begin{bmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\ {e^{j2\pi dsin\theta_1/\lambda}}&{e^{j2\pi dsin\theta_2/\lambda}}&{\cdots}&{e^{j2\pi dsin\theta_K/\lambda}}\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\ {e^{j2\pi (M-1)dsin\theta_1/\lambda}}&{e^{j2\pi (M-1)dsin\theta_2/\lambda}}&{\cdots}&{e^{j2\pi (M-1)dsin\theta_K/\lambda}}\ \end{bmatrix}A= 1ej2πdsinθ1 /λ⋮ej2π(M−1)dsinθ1 /λ 1ej2πdsinθ2 /λ⋮ej2π(M−1)dsinθ2 /λ ⋯⋯⋱⋯ 1ej2πdsinθK /λ⋮ej2π(M−1)dsinθK /λ

2.均匀圆阵

均匀圆形阵列简称为均匀圆阵，其M个相同的全向阵列均匀分布在平面xOy上一个半径R的圆周上。

xOy平面上，第m阵元相对阵元中心的波程差

Δ l ′ = R c o s ( ϕ − γ ) \Delta l'=Rcos(\phi -\gamma)Δl′=Rcos(ϕ−γ)

其在整个空间的波程差为

Δ l = Δ l ′ s i n θ = R s i n θ c o s ( ϕ − γ ) \Delta l=\Delta l'sin\theta=Rsin\theta cos(\phi -\gamma)Δl=Δl′sinθ=Rsinθcos(ϕ−γ)

相应的相位差可写作

Δ ψ = 2 π Δ l / λ = 2 π R s i n θ c o s ( ϕ − γ ) / λ \Delta \psi=2\pi \Delta l/\lambda =2\pi Rsin\theta cos(\phi -\gamma)/\lambdaΔψ=2πΔl/λ=2πRsinθcos(ϕ−γ)/λ

由上所述，其方向向量为

a ( θ , ϕ ) = [ e 2 π R s i n θ c o s ( ϕ − γ 0 ) / λ e 2 π R s i n θ c o s ( ϕ − γ 1 ) / λ ⋮ e 2 π R s i n θ c o s ( ϕ − γ M − 1 ) / λ ] \mathbf{a}(\theta, \phi)=\begin {bmatrix}{e^{2\pi Rsin\theta cos(\phi -\gamma_0)/\lambda}}\ {e^{2\pi Rsin\theta cos(\phi -\gamma_1)/\lambda}}\ {\vdots}\ {e^{2\pi Rsin\theta cos(\phi -\gamma_{M-1})/\lambda}}\ \end{bmatrix}a(θ,ϕ)= e2πRsinθcos(ϕ−γ0 )/λe2πRsinθcos(ϕ−γ1 )/λ⋮e2πRsinθcos(ϕ−γM−1 )/λ

式中，m=0,1,…,M-1；R为半径。